算法分析与设计实验报告——0-1背包问题的动态规划算法实现

算法分析与设计实验报告——0-1背包问题的动态规划算法实现
- 一、实验目的
- 二、实验要求
- 三、实验原理
- 四、实验过程(步骤)
- 五、运行结果
- 六、实验分析与讨论
- 七、实验特色与心得
- 附件一实验过程(步骤)
- 附件二运行结果

一、实验目的

掌握动态规划的基本思想和解决问题的基本步骤，认识动态规划和分治法的联系与区别，对比解决同一问题的两种算法设计策略的时间复杂性。

二、实验要求

用c++语言实现用动态规划算法解决0-1背包问题，分析时间复杂性，体会动态规划算法解决问题的基本思路和步骤。

三、实验原理

0-1 背包问题具有最优子结构性质，可以据此定义递归关系，建立递归方程，并以自底向上的方式计算最优值，根据计算最优值时的得到的信息，构造最优解。
设所给 0-1 背包问题的子问题的最优值 m(i，j) ，即 m(i，j) 是背包重量为 j ，可选物品为 i，i+1，…，n-1 时的最优值。由最优子结构性质，可以计算出 m(i，j) 的递归式如下：

四、实验过程(步骤)

见附件一
实验步骤、特点
重要源代码（流操作的部分要醒目的提示并注释）

五、运行结果

见附件二

六、实验分析与讨论

刚开始运行并没有得到最优解，经过检查程序发现有一个判断条件出错了，修改后结果依然不变，再次阅读程序没有发现问题，然后开始查阅课本，再重新理解一下这个问题。思考后想到了数组的范围设置错误，导致了结果偏移的问题。修改后结果得到了最优解。

七、实验特色与心得

0-1 背包问题具有最优子结构性质，所以可以用动态规划方法求解。根据这种性质定义递归关系并建立递归方程，以自底向上的方式计算最优值。而且以后编程时要彻底理解问题后再构造算法。

附件一实验过程(步骤)

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100
using namespace std;
void Knapsack(int *v, int *w, int c, int n, int (*m)[maxn]) {//先判断第n个物品能不能装入背包int jMax = min(w[n] - 1, c);//当0<=j<=wn时，m(n，j)=0for (int j = 0; j <= jMax; j++) {m[n][j] = 0;}//当j>=wn时，m(n，j)=vnfor (int j = w[n]; j <= c; j++) {m[n][j] = v[n];}//再从n-1往前开始判断第n个物品到第i个物品能不能装下for (int i = n - 1; i > 1; i--) {jMax = min(w[i] - 1, c);for (int j = 0; j < jMax; j++) {m[i][j] = m[i + 1][j];}for (int j = w[i]; j <= c; j++) {m[i][j] = max(m[i + 1][j], m[i + 1][j - w[i]] + v[i]);}}//判断第n个到第1个物品能不能装下m[1][c] = m[2][c];if (c >= w[1])m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c - w[1]] + v[1]);
}//回溯查找最优序列，能装下的赋值为1，不能装下的赋值为0
void Traceback(int (*m)[maxn], int *w, int c, int n, int *x) {for (int i = 1; i < n; i++) {if (m[i][c] == m[i + 1][c])x[i] = 0;else {x[i] = 1;c -= w[i];}}x[n] = (m[n][c]) ? 1 : 0;
}
int main() {//进行数据输入int n, c;cout << "请输入物品数量 n=";cin >> n;cout << "请输入背包容量 c=";cin >> c;int w[n];cout << "请依次输入各物品的重量：";for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> w[i];}int v[n];cout << "请依次输入各物品的价值：";for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i];}int m[maxn][maxn];int x[n];int max_weight = 0;int max_value = 0;//进行查找与回溯Knapsack(v, w, c, n, m);Traceback(m, w, c, n, x);//输出最优序列和最优重量与最优价值cout << "最优装载序列为：\n";for (int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d ", x[i]);max_weight += (x[i] * w[i]);max_value += (x[i] * v[i]);}cout << endl;printf("最大重量为： %d\n最大价值为： %d\n", max_weight, max_value);return 0;
}
/*
5
10
2 2 6 5 4
6 3 5 4 6
*/

附件二运行结果