通信原理学习笔记5-1：数字调制——脉冲成形滤波器选择（码间串扰、Nyquist准则、升余弦滚降滤波器、眼图）

数字调制分为三步：

比特映射：比特bkb_kbk映射到符号InI_nIn（一个复数，即IQ调制的复数星座点，即IQ两路实信号），符号可以取MMM种离散值，称为MMM元的，一个多元符号承载多个比特；
一系列符号组成了一个冲激函数序列I(t)=∑n=−∞∞Inδ(t−nTs)I(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_n\delta(t-nT_s)I(t)=∑n=−∞∞Inδ(t−nTs)
脉冲成形：每个符号对应产生某种波形，所有符号的波形按时间顺序叠加
符号序列经过成形滤波器g(t)g(t)g(t)，输出电路中的连续波形，即基带信号s(t)=I(t)∗g(t)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs)s(t)=I(t)*g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_ng(t-nT_s)s(t)=I(t)∗g(t)=n=−∞∑∞Ing(t−nTs)

使用不同成形脉冲的效果不同：
使用矩形脉冲，则基带信号为不断变化的矩形电平，经过上变频后得到理想正弦波；
然而，实际中常使用升余弦滚降滤波器作为成形滤波器，时域基带信号更平滑（而非矩形电平），从而上变频后能够抑制带外泄露

上变频：将基带信号s(t)s(t)s(t)搬移至载波，这部分和模拟调制类似
在实际中，我们传输复信号s(t)s(t)s(t)（即星座点），这一部分等效实现为IQ调制（用实频带信号传输复基带信号）

下面先接收数字调制中遇到的两个问题，然后介绍「脉冲成形」是如何解决这两个问题的

问题：带外泄露

带外泄露：信号超出了规定的工作频带，从而可能影响工作在相邻频段的系统；
另外，带宽过大时，经过带限信道后，信号也会变形，从而产生误码

通信中信道的频带资源有限，因此要严格控制带外泄露，具体而言也就是通过控制基带信号的带宽，从而控制已调信号的带宽（频谱搬移关系）
脉冲成形的作用之一是控制带外泄露，下面将看到，选择不同的成形滤波器，得到的信号频谱是不同的

问题：码间串扰

解调时，对当前符号的判决不利的两个因素是「噪声」和「码间串扰ISI」，码间串扰ISI就是其他符号（的时域拖尾）对当前采样时刻的干扰

脉冲成形后，基带信号=时域上不同时刻的一系列脉冲信号的叠加，如果一个码元 / 脉冲达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，则在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

无码间串扰：Nyquist准则

基带信号是脉冲成形的波形的叠加（这里假设接收信号与发射信号相同）：r(t)=s(t)=∑n=−∞∞Ing(t−nTs)r(t)=s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_ng(t-nT_s)r(t)=s(t)=n=−∞∑∞Ing(t−nTs)

解调时，对r(t)r(t)r(t)做TsT_sTs的等间隔采样（每个符号抽样判决一次），采样结果为r(nTs)r(n T_{s})r(nTs)，那么无码间串扰，就是希望r(nTs)=Inr(n T_{s})=I_nr(nTs)=In（也就是说，采样时不希望受到其他时刻符号值的影响）

系数InI_nIn只影响r(nTs)r(n T_{s})r(nTs)的幅度，将其忽略，只关注脉冲成形函数g(t)g(t)g(t)，那么无码间串扰就是要求g(t)g(t)g(t)在特殊位置的拖尾为0，即g(nTs)={1n=00n≠0g\left(nT_{s}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1 \quad n=0 \\0 \quad n \neq 0\end{array}\right.g(nTs)={1n=00n=0（各符号的拖尾不影响其他符号在其他时刻的抽样判决）

进一步求解对g(t)g(t)g(t)频谱的约束条件

上面说过，接收端抽样判决时，对r(t)r(t)r(t)做TsT_sTs的等间隔采样，真正影响结果的是g(t)g(t)g(t)，因此变为对g(t)g(t)g(t)做TsT_sTs的等间隔采样得到gs(t)=g(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑n=−∞∞g(nTs)δ(t−nTs)Gs(ω)=12πG(ω)∗[2πTs∑n=−∞∞δ(ω−2πnTs)]=1Ts∑n=−∞∞G(ω−2πnTs)g_{s}(t)=g(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \delta(t-n T s)\\G_{s}(\omega)=\frac{1}{2\pi}G(\omega)*[\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\frac{2\pi n}{T_s})]=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} G(\omega-\frac{2\pi n}{T_s})gs(t)=g(t)n=−∞∑∞δ(t−nTs)=n=−∞∑∞g(nTs)δ(t−nTs)Gs(ω)=2π1G(ω)∗[Ts2πn=−∞∑∞δ(ω−Ts2πn)]=Ts1n=−∞∑∞G(ω−Ts2πn)
带入g(nTs)={1n=00n≠0g\left(nT_{s}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1 \quad n=0 \\0 \quad n \neq 0\end{array}\right.g(nTs)={1n=00n=0的要求，上面两式必须满足gs(t)=∑n=−∞∞g(nTs)δ(t−nTs)=δ(t)Gs(ω)=1Ts∑n=−∞∞G(ω−2πnTs)=1（做上式的傅里叶变换可知）g_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \delta(t-n T s)=\delta(t)\\G_{s}(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} G(\omega-\frac{2\pi n}{T_s})=1（做上式的傅里叶变换可知）gs(t)=n=−∞∑∞g(nTs)δ(t−nTs)=δ(t)Gs(ω)=Ts1n=−∞∑∞G(ω−Ts2πn)=1（做上式的傅里叶变换可知）

这就是Nyquist准则：

第一个式子保证时域拖尾互不干扰，时域上每隔TsT_sTs采样，除了本码元采样点之外的所有采样点应该为0
第二个式子是说，将频谱G(ω)G(\omega)G(ω)以2πnTs\frac{2\pi n}{T_s}Ts2πn为周期延拓后，所有延拓的频谱叠加，应该为常数TsT_sTs；
或者也可以说将频谱G(ω)G(\omega)G(ω)沿ω\omegaω轴以2πnTs\frac{2\pi n}{T_s}Ts2πn为长度切段，平移各个段到一起并累加，应该为常数TsT_sTs

要满足Nyquist准则，脉冲成形函数g(t)g(t)g(t) / 基带信号s(t)s(t)s(t)的的最小带宽为B0≥12Ts=Rs2B_0\geq \frac{1}{2T_s}=\frac{R_s}{2}B0≥2Ts1=2Rs（或数字频率2πB02\pi B_02πB0）
注意，这里的带宽B0B_0B0是理想低通信道的带宽
或者等价的说，带通信道的Nyquist带宽为B0≥RsB_0\geq R_sB0≥Rs

实际中，OFDM信号就达到带通信道的奈奎斯特带宽，理论上最节约信道资源
虽然实际上基带信道带宽略大于Rs2\frac{R_s}{2}2Rs，但是相邻频带重叠，利用子载波正交性总体上仍没有重叠，即等效于到达了最小的奈奎斯特带宽，实现理论最大频带利用率

扩展：奈奎斯特带宽、奈奎斯特速率

在Nyquist准则的基础上，我们又得到了奈奎斯特带宽、奈奎斯特速率的概念

信道容量：在信道中进行无差错传输可达的最大信息速率

解调时，对当前符号的判决不利的是「噪声」和「码间串扰ISI」，在不同信道情况下，计算信道容量的方式不同。下面可以看出，「码间串扰ISI」是信道容量永远无法摆脱的内在束缚，而「噪声」的存在进一步减小了信道容量

理想无噪信道：数据率的限制仅来自于信号的「带宽」（涉及码间串扰限制），计算信道容量使用奈奎斯特准则
理解：即使没有噪声，信号自己会对自己造成干扰（这就是码间干扰，就像说话太快前后几个字混淆不清），但是只要增加带宽就能增加数据率

奈奎斯特准则的理论，延伸出奈奎斯特带宽和奈奎斯特速率两个概念（下面的BBB是理想的低通信道的带宽）
奈奎斯特带宽：固定了符号速率Rs=1TsR_s=\frac{1}{T_s}Rs=Ts1，则在无噪信道无ISI（无差错）传输所需的最小带宽B≥Rs2B\geq \frac{R_s}{2}B≥2Rs
奈奎斯特速率：固定了带宽BBB，那么在无噪信道无ISI（无差错）传输能达到的最大符号速率为Rs≤2BR_s\leq2BRs≤2B
根据奈奎斯特速率，无噪信道容量：C=2Blog2M(bps)C=2Blog_2M(bps)C=2Blog2M(bps)，其中MMM为一个码元可能对应的离散值个数

实际有噪信道：数据率上限由「带宽」和「信噪比」共同决定（而不仅仅是带宽了），计算信道容量使用香农公式
理解：有噪声的情况下，香农公式指出，无限增加带宽就不一定能相应增加传输速率了，因为信道带宽增加其中混入的白噪声也就增加了（信道容量上限lim⁡B→∞C=log2e⋅(S/n0),n0为噪声功率谱密度\lim_{B\rightarrow\infty C=log_2e\cdot(S/n_0)},n_0为噪声功率谱密度limB→∞C=log2e⋅(S/n0),n0为噪声功率谱密度）

有噪信道容量：C=2Blog2(1+SNR)C=2Blog_2(1+SNR)C=2Blog2(1+SNR)，其中MMM为一个码元可能对应的离散值个数

脉冲成形

想要在信道中真正传输数字信号（如01比特），必须将它们转化为一定的电路波形 / 脉冲信号，称为脉冲成形；
脉冲成形，具体实现方法就是冲激信号经过基带滤波器g(t)g(t)g(t)（一个滤波器），得到时域脉冲波形，下面讨论什么样的g(t)g(t)g(t)是合适的

结论：

理论分析中可以用矩形脉冲，但实际中均为类似sinc的脉冲，由升余弦滚降滤波器生成
注意，采用sinc脉冲会进一步导致PSK / QAM调制得到的波形，实际与理论不同，然后我们在实际中并不需要关注调制后的波形如何，只要关注波形解调后对于sinc脉冲的采样判决，后面将看到，sinc脉冲能很好的降低码间串扰
接收端收到基带的脉冲信号，进行采样判决，再将其还原为一个个符号，进而得到数字信号

具体分析如下：

矩形脉冲：带宽无限，不可行

最容易想到的脉冲就是矩形脉冲，我们直接用其高低电平来对应数字信号，然而脉冲信号的频谱有无限的带宽：F[rect(tτ)]=τsinc(τf)\mathscr F[rect(\frac{t}{\tau})]=\tau sinc(\tau f)F[rect(τt)]=τsinc(τf)
实际信道带宽有限，这样就会导致传输后信号频谱变形，时域信号失真，很容易误判
或者说，带外功率的衰减慢，带外泄露强

如图，发送端的理想矩形脉冲，经过信道后信号失真（频域上低通，时域上平滑），从而误判

可见，矩形脉冲在频域上带宽无限，经过带限信道很容易失真，这就是为什么要控制带外泄露
接下来尝试选择其他更合适的脉冲成形滤波器

sinc脉冲：理想的脉冲成形

根据尺度变换性质F[x(αt)]=1∣α∣X(ωα)\mathscr{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{|\alpha|}X(\frac{\omega}{\alpha})F[x(αt)]=∣α∣1X(αω)，尺度变换因子α\alphaα对时域和频域的作用是相反的：

α>1\alpha>1α>1时域波形变窄，则频谱变宽（含有更多高频分量）

也可以说，时域信号的跳变引起频域的扩展（时域跳变包含大量高频成分，从而频谱变宽）
频域信号的跳变引起时域的扩展

既然需要有限宽的频谱来减少带外泄露，则根据傅里叶变换的对偶性，我们想到F[sinc(τt)]=1τrect(fτ)\mathscr F[sinc(\tau t)]=\frac{1}{\tau}rect(\frac{f}{\tau})F[sinc(τt)]=τ1rect(τf)
左侧为sinc信号时域波形，右侧为频谱（理想LPF）

使用sinc作为脉冲信号，优点如下：

频谱带宽有限（理想LPF的频谱），经过带通信道不失真
实现简单：脉冲成形的成形滤波器就是理想LPF
sinc信号每间隔1/τ1/\tau1/τ幅值取0（τ\tauτ为其矩形频谱的总宽度，即2倍LPF带宽BBB），因此只要sinc脉冲信号的发送间隔为1/τ=1/(2B)1/\tau=1/(2B)1/τ=1/(2B)，即码元速率Rs=2BR_s=2BRs=2B，即可实现无码间串扰

如图，如果一个码元 / 脉冲达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

sinc函数实现了Nyquist准则要求的最小带宽Rs/2R_s/2Rs/2，并且无码间干扰ISI，但问题在于

sinc脉冲成形对应的基带滤波器是理想LPF，是不可能实现的
理想的LPF是非因果滤波器（需要未来的输入），想要实现必须将系统冲激响应做延时（将一段时间的输入缓存下来），转化为因果系统；
并且，延时取决于信号何时衰减至可以被忽略，i.e.信号衰减越快，可以使用越小的延时
衰减速度慢还带来其他缺点：拖尾衰减速度慢，且拖尾振荡幅度大，因此出现定时偏差/采样时刻偏离时导致严重码间串扰（有定时偏差，不能保证当前码元抽样时刻“对齐”了其余码元取值为0的位置，从而由于拖尾引起码间串扰**）
也就是说，拖尾衰减慢，则要求采样精度更高

综上，sinc函数作为脉冲成形函数，理论上可行，实际上仍需改进（希望加快衰减速度）

升余弦滚降滤波器：从理想sinc到实际应用

sinc脉冲成形函数的缺点是时域拖尾长，但频谱是理想LPF，无法实现；
由于频域信号的跳变引起时域的扩展，可以采用频谱更平滑的成形滤波器，从而时域拖尾衰减更快，即升余弦滚降滤波器
实际应用中，使用「升余弦滚降滤波器RC」来逼近理想的LPF，并且能够控制脉冲的拖尾衰减速度
升余弦滚降滤波器RC可以加速信号拖尾的衰减，代价是频带的展宽

如右图，升余弦滚降滤波器RC一般有过渡带，且过渡带就是把余弦函数的一个周期升高了1，故称"升余弦"g(t)=sinc⁡(tTs)cos⁡(παt/Ts)1−(2αt/Ts)2G(ω)={Ts∣ω∣⩽∣1−α∣2πB0Ts2[1+cos⁡∣ω∣−(1−α)2πB04αB0]∣1−α∣2πB0<∣ω∣⩽∣1+α∣2πB00∣ω∣>∣1+α∣2πB0g(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T_{s}}\right) \frac{\cos \left(\pi \alpha t / T_{s}\right)}{1-\left(2 \alpha t / T_{s}\right)^{2}}\quad G(\omega)=\left\{\begin{array}{ll} T_{s} & |\omega| \leqslant|1-\alpha| 2 \pi B_{0} \\ \frac{T_{s}}{2}\left[1+\cos \frac{|\omega|-(1-\alpha) 2 \pi B_{0}}{4 \alpha B_{0}}\right] & |1-\alpha| 2 \pi B_{0}<|\omega| \leqslant|1+\alpha| 2 \pi B_{0} \\ 0 & |\omega|>|1+\alpha| 2 \pi B_{0} \end{array}\right.g(t)=sinc(Tst)1−(2αt/Ts)2cos(παt/Ts)G(ω)=⎩⎨⎧Ts2Ts[1+cos4αB0∣ω∣−(1−α)2πB0]0∣ω∣⩽∣1−α∣2πB0∣1−α∣2πB0<∣ω∣⩽∣1+α∣2πB0∣ω∣>∣1+α∣2πB0

升余弦滚降滤波器的关键参数是 滚降系数α\alphaα，满足0≤α≤10\leq\alpha\leq10≤α≤1
如图，升余弦滚降滤波器RC的频率响应是平缓的（因此可近似实现），过渡带中心为B=12Ts=f0B=\frac{1}{2T_s}=f_0B=2Ts1=f0

无论α\alphaα取值如何，时域波形仍然满足：每间隔Ts=12B=12f0T_s=\frac{1}{2B}=\frac{1}{2f_0}Ts=2B1=2f01取值为0
无论α\alphaα取值如何，频率响应的过渡带中心固定为f0f_0f0

要满足无码间串扰：

利用时域的波形特点，保证脉冲信号的发送间隔为1/(2f0)1/(2f_0)1/(2f0)，即码元速率Rs=2f0R_s=2f_0Rs=2f0

或者考虑频域：满足Nyquist准则（频谱以RsR_sRs做周期延拓并叠加后为恒定常数），这也要求了必须取f0=Rs/2f_0=R_s/2f0=Rs/2，才能满足无码间串扰

从两个角度分析，得到的结果是统一的

α\alphaα控制了频率响应的过渡带宽度，过渡带中心f0f_0f0向左有αf0\alpha f_0αf0宽度，向右同样有αf0\alpha f_0αf0宽度，故总带宽(1+α)f0(1+\alpha)f_0(1+α)f0
α=0\alpha=0α=0就是理想LPF的情况，α\alphaα增大，频域增大带宽（实现难度降低），时域的信号拖尾衰减加快（能够减小由定时偏差带来的码间串扰），然而α\alphaα过大也意味着频带利用率η\etaη降低（见后文），需要权衡利弊（一般取α=0.3\alpha=0.3α=0.3）

综上，为了无码间串扰，升余弦滚降滤波器RC的过渡带中心必须取f0=Rs/2f_0=R_s/2f0=Rs/2，进而时域脉冲信号带宽(1+α)Rs/2(1+\alpha)R_s/2(1+α)Rs/2；

对比：满足奈奎斯特准则的成形滤波器，最小带宽正是Rs/2R_s/2Rs/2，而升余弦滚降滤波器的带宽略大于Rs/2R_s/2Rs/2

这也意味着升余弦滚降滤波器RC的频带利用率η=Rs(1+α)Rs/2=21+α(Baud/Hz)\eta=\frac{R_s}{(1+\alpha)R_s/2}=\frac{2}{1+\alpha}(Baud/Hz)η=(1+α)Rs/2Rs=1+α2(Baud/Hz)，即上述的 α\alphaα越大频带利用率η\etaη越低

最终，采样升余弦滚降滤波器作为基带滤波器，进行脉冲成形，得到的时域波形如下：

可见，在每个抽样点处，当前码元的幅值达到最大，而其余码元在该点幅值为0，从而无码间串扰，能够正确判决

眼图：评估码间串扰情况

眼图是评价实际系统的码间串扰情况的工具，示波器叠加显示基带信号的波形，波形如同眼睛，称为眼图

眼图生成原理

理论上当前码元的波形受其余所有码元的拖尾影响，但最主要的影响来自前后两个码元，因此我们只关注连续三个码元的时域叠加波形即可：三个码元所有可能取值为000、001、010、011、100、101、110、111000、001、010、011、100、101、110、111000、001、010、011、100、101、110、111

和上面的图片同理，上图中000000000三个码元的合成波形为（码元000对应的是正脉冲）

001001001三个码元的合成波形为

010010010三个码元的合成波形为

由此类推，所有可能的连续三个码元的时域波形叠加，得到了眼图

眼图能显示噪声和码间串扰的影响

噪声：导致眼图中的线迹模糊不清
码间串扰：导致“眼睛”张开的更小、眼图不端正（眼图的中心时刻对应了当前码元的采样判决时刻，如果混入了其他码元的影响，则“眼睛”就逐渐闭上了）