数值分析--python--LU分解法

1、LU分解法介绍

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LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

2、示例代码

    import numpy as npa = [[2, 2, 3], [4, 7, 7], [-2, 4, 5]]b = [[3], [1], [-7]]unit_matrix=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]#合并两个矩阵def augmented_matrix(x, y):return [aa + bb for aa, bb in zip(x, y)]def LU_decomposition():a_unit_matrix=augmented_matrix(a,unit_matrix)print(np.array(a_unit_matrix))# 交换主元for j in range(len(a_unit_matrix)):if a_unit_matrix[j][j] == 0:for w in range(len(a_unit_matrix)):if a_unit_matrix[w][j] != 0:l = a_unit_matrix[w]a_unit_matrix[w] = a_unit_matrix[j]a_unit_matrix[j] = lbreak#化为上三角矩阵j = 0while j < len(a_unit_matrix):line = a_unit_matrix[j]lest_0 = []if j==0:for x0 in line:x = x0lest_0.append(x)else:for x0 in line:x = x0/a_unit_matrix[0][0]lest_0.append(x)a_unit_matrix[j] = lest_0flag = j + 1while flag < len(a_unit_matrix):lest_1=[]temp1 = a_unit_matrix[flag][j]/a_unit_matrix[j][j]i = 0for x1 in a_unit_matrix[flag]:x = x1-(temp1 * lest_0[i])lest_1.append(x)i=i+1a_unit_matrix[flag] = lest_1flag = flag + 1j = j + 1print("将A矩阵与单位矩阵合并，然后化为下三角矩阵为：")for i in range(len(a_unit_matrix)):m = 1 / a_unit_matrix[i][i+len(a)]for j in range(len(a_unit_matrix[0])):a_unit_matrix[i][j]=m*a_unit_matrix[i][j]print(np.array(a_unit_matrix))# 分解为L的逆矩阵和U矩阵L=[]U=[]for i in range(len(a_unit_matrix)):L.append([])U.append([])for i in range(len(a_unit_matrix)):for j in range(len(a_unit_matrix[i])):if j<len(a_unit_matrix[i])/2:U[i].append(a_unit_matrix[i][j])else:L[i].append(a_unit_matrix[i][j])print("L矩阵为：")print(np.linalg.inv(np.array(L)))print("U矩阵为：")print(np.array(U))# 求D矩阵D=np.dot(L,b)print("D矩阵为：")print(D)# 通过U的逆矩阵求X矩阵U_inverse = np.linalg.inv(np.array(U))X = np.dot(U_inverse, D)print("X矩阵为：")print(X)LU_decomposition()

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