概率论与数理统计复习一（伽马函数、正态分布、瑞利分布、线性相关、独立）
目录
- 各种分布
- 正态分布
- 引理
- 瑞利分布
- 期望与方差
- 泊松分布
- 期望与方差
- 指数分布
- 期望与方差
- 指数分布的min、max、和
- Z=min{X,Y}Z = min\{X,Y\}Z=min{X,Y}
- Z=max{X,Y}Z = max\{X,Y\}Z=max{X,Y}
- Z=X+YZ = X+YZ=X+Y
- 相关(线性)
- 独立
- 伽马函数
- 性质
- 大数定律及中心极限定理
- 弱大数定律
- 伯努利大数定律
- 中心极限定理
- 独立同分布
- 抽样分布
- 样本方差
- 正态总体样本均值与样本方差的分布
- χ2\chi^2χ2分布
- 1.χ2\chi^2χ2分布的可加性
- 2.期望与方差
- ttt分布
- 对称性
- FFF分布
- 上分位数
- 三种分布的一些定理
- 1
- 2
- 3
- 1
- 2
各种分布
正态分布
f(x)=12πσexp(−(x−μ)22σ2)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)f(x)=2πσ1exp(−2σ2(x−μ)2)
ϕ(x)=12πe−x22\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}ϕ(x)=2π1e−2x2
Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dt\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dtΦ(x)=2π1−∞∫xe−2t2dt
Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1-\Phi(x)Φ(−x)=1−Φ(x)
若Xi∼N(μi,σi2),且他们相互独立，则对于Z=X1+X2+⋯+Xn,Z∼N(μ1+μ2+⋯+μn,σ12+σ22+⋯+σn2)若X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i),且他们相互独立，则对于Z = X_1+X_2+\cdots+X_n,Z\sim N(\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n, \sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2)若Xi∼N(μi,σi2),且他们相互独立，则对于Z=X1+X2+⋯+Xn,Z∼N(μ1+μ2+⋯+μn,σ12+σ22+⋯+σn2)
引理
对于正态分布
X∼N(μ,σ2)X\sim{N(\mu,\sigma^2)}X∼N(μ,σ2)
有Z=X−μσ∼N(0,1)Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim{N(0,1)}Z=σX−μ∼N(0,1)
瑞利分布
瑞利分布（Rayleigh Distribution）:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、均值为0，有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
f(x)=xσ2e−x22σ2,x>0f\left(x\right)=\frac{x}{σ^2}e^{-\frac{x^2}{2σ^2}},x>0f(x)=σ2xe−2σ2x2,x>0
期望与方差
E(X)=μ(X)=∫−∞∞xf(x)dxE\left(X\right)=\mu \left(X\right)=\int _{-\infty }^{\infty }xf\left(x\right)dxE(X)=μ(X)=∫−∞∞xf(x)dx
=∫0∞x2σ2e−x22σ2dx=∫0∞−xde−x22σ2,(x>0)=\int _0^{\infty }\frac{x^2}{\sigma ^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx=\int _0^{\infty }-xde^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}},\left(x>0\right)=∫0∞σ2x2e−2σ2x2dx=∫0∞−xde−2σ2x2,(x>0)
=−xe−x22σ2∣0∞+∫0∞e−x22σ2dx=-xe^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}|_0^{\infty }+\int _0^{\infty }e^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}dx=−xe−2σ2x2∣0∞+∫0∞e−2σ2x2dx
=0+2πσ∫0∞12πσe−x22σ2dx=0+\sqrt{2\pi }\sigma \int _0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}dx=0+2πσ∫0∞2πσ1e−2σ2x2dx
=2πσ×12=π2σ≈1.253σ=\sqrt{2\pi }\sigma \times \frac{1}{2}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma \approx 1.253\sigma =2πσ×21=2πσ≈1.253σ
D(X)=E(X2)−[E(X)]2D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2D(X)=E(X2)−[E(X)]2
=∫0∞x3σ2e−x22σ2dx−[E(X)]2=\int _0^{\infty }\frac{x^3}{\sigma ^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx-\left[E\left(X\right)\right]^2=∫0∞σ2x3e−2σ2x2dx−[E(X)]2
=∫0∞−x2de−x22σ2−[E(X)]2=\int _0^{\infty }-x^2de^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}-\left[E\left(X\right)\right]^2=∫0∞−x2de−2σ2x2−[E(X)]2
=−x2e−x22σ2∣0∞+∫0∞e−x22σ2dx2−[E(X)]2=-x^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}|_0^{\infty }+\int _0^{\infty }e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx^2-\left[E\left(X\right)\right]^2=−x2e−2σ2x2∣0∞+∫0∞e−2σ2x2dx2−[E(X)]2
=0−2σ2e−x22σ2∣0∞−[E(X)]2=0-2\sigma ^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}|_0^{\infty }-\left[E\left(X\right)\right]^2=0−2σ2e−2σ2x2∣0∞−[E(X)]2
=2σ2−(π2σ)2=4−π2σ2≈0.429σ2=2\sigma ^2-\left(\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma \right)^2=\frac{4-\pi }{2}\sigma ^2\approx 0.429\sigma ^2=2σ2−(2πσ)2=24−πσ2≈0.429σ2
泊松分布
期望与方差
E(x)=λE(x) = \lambdaE(x)=λ
D(x)=λD(x) = \lambdaD(x)=λ
已知X∼π(λ),求E(λke−λk!)已知X\sim \pi(\lambda),求E\left(\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\right)已知X∼π(λ),求E(k!λke−λ)
E(1X+1)=∑k=0∞1k+1P{X=k}E\left(\frac{1}{X+1}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}P\{X=k\}E(X+11)=k=0∑∞k+11P{X=k}
指数分布
期望与方差
E(x)=θE(x) = \thetaE(x)=θ
D(x)=θ2D(x) = \theta^2D(x)=θ2
指数分布的min、max、和
指数分布概率密度为
fX(x)={αe−αx,x>00,x≤0f_X(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \alpha e^{-\alpha x} & , x>0\\ 0 & , x \le 0 \end{array} \right.fX(x)={αe−αx0,x>0,x≤0
fY(y)={βe−βy,y>00,y≤0f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lr} \beta e^{-\beta y} & , y>0\\ 0 & , y \le 0 \end{array} \right.fY(y)={βe−βy0,y>0,y≤0
指数分布分布函数为
FX(x)={1−e−αx,x>00,x≤0F_X(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-\alpha x} &, x>0\\ 0 &, x \le 0 \end{array} \right. FX(x)={1−e−αx0,x>0,x≤0
FY(y)={1−e−βy,y>00,y≤0F_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-\beta y} &, y>0\\ 0 &, y \le 0 \end{array} \right. FY(y)={1−e−βy0,y>0,y≤0
Z=min{X,Y}Z = min\{X,Y\}Z=min{X,Y}
Fmax(z)=FX(z)FY(z)F_{max}(z) = F_X(z)F_Y(z)Fmax(z)=FX(z)FY(z)
对于独立的两个指数分布
Fmin(x)={1−e−(α+β),z>00,z≤0F_{min}(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-(\alpha+\beta)} &, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right.Fmin(x)={1−e−(α+β)0,z>0,z≤0
fmin(x)={(α+β)e−(α+β),z>00,z≤0f_{min}(x) = \left\{ \begin{array}{lr} (\alpha + \beta)e^{-(\alpha+\beta)} &, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right.fmin(x)={(α+β)e−(α+β)0,z>0,z≤0
Z=max{X,Y}Z = max\{X,Y\}Z=max{X,Y}
Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]F_{min}(z) = 1-\left[1-F_X(z)\right]\left[ 1 - F_Y(z)\right]Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]
Z=X+YZ = X+YZ=X+Y
fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dyf_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)\,\mathrm{d}yfX+Y(z)=−∞∫∞f(z−y,y)dy
fX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)\,\mathrm{d}xfX+Y(z)=−∞∫∞f(x,z−x)dx
独立时，有卷积公式
fX∗fY=fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_X * f_Y = f_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\,\mathrm{d}y = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm{d}xfX∗fY=fX+Y(z)=−∞∫∞fX(z−y)fY(y)dy=−∞∫∞fX(x)fY(z−x)dx
f(z)={(αββ−α)(e−αz−e−βz),z>00,z≤0f(z) = \left\{ \begin{array}{lr} (\frac{\alpha\beta}{\beta-\alpha})\left(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z} \right)&, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right.f(z)={(β−ααβ)(e−αz−e−βz)0,z>0,z≤0
f(z)={(11α−1β)(e−αz−e−βz),z>00,z≤0f(z) = \left\{ \begin{array}{lr} \left(\frac{1}{\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}}\right)\left(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z} \right)&, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right.f(z)={(α1−β11)(e−αz−e−βz)0,z>0,z≤0
相关(线性)
ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=0\rho_{XY} = \frac{Cov{(X,Y)}}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=0ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y)=0
E(X,Y)=E(X)E(Y)E(X,Y) = E(X)E(Y)E(X,Y)=E(X)E(Y)
Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0
D(X,Y)=D(x)+D(Y)D(X,Y) = D(x)+D(Y)D(X,Y)=D(x)+D(Y)
独立
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{X≤x,Y≤y}P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{X\leq x,Y\leq y\}P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{X≤x,Y≤y}
F(x,y)=Fx(x)Fy(y)F(x,y) = F_x(x)F_y(y)F(x,y)=Fx(x)Fy(y)
f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)在平面上几乎处处成立f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立
伽马函数
伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt(x>0)\Gamma(x) = \int\limits_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt (x>0)Γ(x)=0∫+∞tx−1e−tdt(x>0)
性质
Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)Γ(x+1)=xΓ(x)
Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!Γ(n)=(n−1)!
大数定律及中心极限定理
弱大数定律
设X1,X2,⋯是相互独立的，服从同一分布的，随机变量序列，且E(Xk)=μ.设X_1, X_2, \cdots是相互独立的，服从同一分布的，随机变量序列，且E(X_k) = \mu. 设X1,X2,⋯是相互独立的，服从同一分布的，随机变量序列，且E(Xk)=μ.
作前n个变量的算数平均1n∑k=1nXk,则对于任意的ε>0,有作前n个变量的算数平均\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k,则对于任意的\varepsilon>0,有作前n个变量的算数平均n1k=1∑nXk,则对于任意的ε>0,有
limn→∞P{∣1n∑k=1nXk−μ∣<ε}=1\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} P{\left\{\left \vert {\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k-\mu} \right \vert< \varepsilon \right\}}=1 \end{aligned} n→∞limP{∣∣∣∣∣n1k=1∑nXk−μ∣∣∣∣∣<ε}=1
伯努利大数定律
limn→∞P{∣∑k=1nfAn−p∣<ε}=1\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} P{\left\{\left \vert {\sum_{k=1}^{n}{\frac{f_A}{n}}-p} \right \vert< \varepsilon \right\}}=1 \end{aligned} n→∞limP{∣∣∣∣∣k=1∑nnfA−p∣∣∣∣∣<ε}=1
limn→∞P{∣∑k=1nfAn−p∣≥ε}=0\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} P{\left\{\left \vert {\sum_{k=1}^{n}{\frac{f_A}{n}}-p} \right \vert \geq \varepsilon \right\}}=0 \end{aligned} n→∞limP{∣∣∣∣∣k=1∑nnfA−p∣∣∣∣∣≥ε}=0
中心极限定理
独立同分布
E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2>0E(X_k) = \mu,D(X_k) = \sigma^2>0E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2>0
随机变量之和∑k=1nXk的标准化变量Yn=∑k=1nXk−nμnσ随机变量之和\sum_{k=1}^nX_k的标准化变量Y_n=\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}随机变量之和k=1∑nXk的标准化变量Yn=nσ∑k=1nXk−nμ
抽样分布
12π∫−∞∞t2e−t2/2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}t^2e^{{-t^2}/{2}}2π1−∞∫∞t2e−t2/2
样本方差
S2=1n−1∑i=1n(Xi−X)ˉ2=1n−1∑i=1n(Xi2+Xˉ2−2XiXˉ)S^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X)}^2} =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i^2 + \bar{X}^2 - 2X_i\bar{X})}S2=n−11i=1∑n(Xi−X)ˉ2=n−11i=1∑n(Xi2+Xˉ2−2XiXˉ)
=1n−1(∑i=1nXi2−nXˉ2)= \frac{1}{n-1}\left ({\sum_{i=1}^{n}{X_i^2-n \bar{X}^2} }\right) =n−11(i=1∑nXi2−nXˉ2)
正态总体样本均值与样本方差的分布
E(Xˉ)=μE(\bar X) = \muE(Xˉ)=μ
D(Xˉ)=1nσ2D(\bar X) = \frac{1}{n}\sigma^2D(Xˉ)=n1σ2
E(Xˉ2)=D(Xˉ)+E(Xˉ)2=μ2+σ2nE({\bar X}^2) = D(\bar X) + E(\bar X)^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}E(Xˉ2)=D(Xˉ)+E(Xˉ)2=μ2+nσ2
E(S2)=σ2E(S^2) = \sigma^2E(S2)=σ2
χ2\chi^2χ2分布
χ2=X12+X22+⋯+Xn2\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2χ2=X12+X22+⋯+Xn2
1.χ2\chi^2χ2分布的可加性
χ12+χ22∼χ2(n1+n2)\chi_1^2+\chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)χ12+χ22∼χ2(n1+n2)
2.期望与方差
E(χ2)=nE(\chi^2) = nE(χ2)=n
D(χ2)=2nD(\chi^2) = 2nD(χ2)=2n
Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2Y = (X_1+X_2)^2+(X_3+X_4)^2Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2
ttt分布
设X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且X,Y相互独立设X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n),且X,Y相互独立设X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且X,Y相互独立
t=XY/n服从自由度为n的t分布t∼t(n)t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布t\sim t(n)t=Y/nX服从自由度为n的t分布t∼t(n)
对称性
由对称性可知，上 α\alphaα 分位数 t1−a(n)=−ta(n)t_{1-a}(n)=-t_a(n)t1−a(n)=−ta(n)
FFF分布
设U∼χ2(n1),V∼χ2(n2),且U,V相互独立，则随机变量设U \sim \chi^2(n_1),V \sim \chi^2(n_2),且U,V相互独立，则随机变量设U∼χ2(n1),V∼χ2(n2),且U,V相互独立，则随机变量
F=U/n1V/n2F = \frac{U/n_1}{V/n_2}F=V/n2U/n1
服从自由度为(n1,n2)的F分布,记为F∼F(n1,n2)服从自由度为(n_1,n_2)的F分布,记为F\sim F(n_1, n_2)服从自由度为(n1,n2)的F分布,记为F∼F(n1,n2)
上分位数
1F∼F(n2,n1)\frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1)F1∼F(n2,n1)
F1−a(n1,n2)=1Fa(n2,n1)F_{1-a}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_a(n_2,n_1)}F1−a(n1,n2)=Fa(n2,n1)1
三种分布的一些定理
设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，则：设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，则：设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，则：
Xˉ∼(μ,σ2n)\bar X \sim (\mu,\frac{\sigma^2}{n})Xˉ∼(μ,nσ2)
1
设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则：设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，S^2是样本方差，则：设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则：
(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
Xˉ与S2相互独立\bar{X}与S^2相互独立Xˉ与S2相互独立
2
设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则：设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，S^2是样本方差，则：设X1,X2,⋯Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则：
Xˉ−μS/n∼t(n−1)\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)S/nXˉ−μ∼t(n−1)
证明(标准正态分布除以卡方分布配(n-1)即可)：
Xˉ−μσ/n/(n−1)S2(n−1)σ2{\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}}/\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}σ/nXˉ−μ/(n−1)σ2(n−1)S2
3
设X1,X2,⋯,Xn与Y1,Y2,⋯,Yn分别是来自正态总体分布N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立设X_1,X_2,\cdots,X_n与Y_1,Y_2,\cdots,Y_n分别是来自正态总体分布N(\mu_1,\sigma_1^2)和N(\mu_2,\sigma_2^2)的样本，且两个样本相互独立设X1,X2,⋯,Xn与Y1,Y2,⋯,Yn分别是来自正态总体分布N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立
1
S12/S22σ12/σ22∼F(n1−1,n2−1)\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)σ12/σ22S12/S22∼F(n1−1,n2−1)
2
当σ12=σ22=σ2时当\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2时当σ12=σ22=σ2时
(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)Swn11+n21(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼t(n1+n2−2)
Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22
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我他妈写一上午了直接没了,这狗csdn,别在已发布的文章上改,辣鸡玩意儿. 复习 概率论与数理统计 1.基础 2.贝叶斯公式 3.大数定律(Law of the large numbers) 4.中心 ...
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概率论的基本概念 统计规律性:在大量重复实验或观察中所呈现出的具有固定规律性 随机现象: 自然界有确定性现象和随机现象,随机现象指个别实验中结果呈现不确定性,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性, ...
- 【概率论与数理统计】期末复习抱佛脚：公式总结与简单例题（完结）
不全. 截图来自猴博士的视频(B站搜猴博士即可). 我的稍微完整一些的笔记(例题具体解答在这里面):[猴博士]概率论与数理统计 笔记总结(完结) 多图预警. 文章目录 第一章:随机事件和概率 古典概型 ...
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