试题算法训练最短路

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问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

解题思路：

题目中写到某些边权可能为负，但保证没有负环，Dijkstra算法要求边的权值非负，因此不能使用；题目中n的最大值为20000，但Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)，一定会超时（n小于500时再考虑Floyd-Warshall算法）。想到Bellman-ford算法适用于单源最短路径，图中边的权重可为负数即负权边，但不可以出现负权环，因此本题使用Bellman-ford算法。

这里还需要解释一下负边权和负权环的概念：

负权边：权重为负数的边。
负权环：源点到源点的一个环，环上权重和为负数。

算法描述：

1.设立五个一维数组：存放从第1个节点到第i个节点的最短路径dist[20005],临时数组tmp[20005],边起点数组u[200009],边终点数组v[200009],边权值数组len[200009]。

int u[200009],v[200009],len[200009];
int dist[20005],tmp[20005];

2.遍历所有的边，来改变每个源点的最短距离（核心思想）。

 for(int i=1;i<=n;i++){//flag = 0;//for(int j=1;j<=n;j++)//{//    tmp[j] = dist[j];//}for(int k=1;k<=m;k++){if(dist[v[k]]>dist[u[k]]+len[k]){dist[v[k]] = dist[u[k]]+len[k];}}}

考虑到时间复杂度为O(n2)，当n取值偏大时可能会出现超时的情况，因此需要用一个临时数组tmp来储存每轮结束后的最短路径数，用一个标记flag来监控该数据是否发生改变，如果出现变化则继续，反之则退出循环，表示已经找到全部的最短路径。

for(int h=1;h<=n;h++)
{if(tmp[h]!=dist[h]){flag = 1;break;}
}
if(flag==0)
{break;
}

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int u[200009],v[200009],len[200009];
int dist[20005],tmp[20005];     //临时数组
int main()
{int n,m,flag;  //标记 cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>u[i]>>v[i]>>len[i];}memset(dist,1000000,sizeof dist);        //所有路径初始化为最大值 dist[1] = 0; //本身距离为0 for(int i=1;i<=n;i++){flag = 0;for(int j=1;j<=n;j++){tmp[j] = dist[j];}for(int k=1;k<=m;k++){if(dist[v[k]]>dist[u[k]]+len[k]){dist[v[k]] = dist[u[k]]+len[k];         //计算最短路径 }}for(int h=1;h<=n;h++){if(tmp[h]!=dist[h])            //只要发生改变就退出 ,说明仍然存在还未找出的最短路径 {flag = 1;break;}}if(flag==0)       //说明找到了所有的最短路径，没有必要再进行下去，结束循环 {break;}}for(int i=2;i<=n;i++){cout<<dist[i]<<endl;      //输出1号点到i+1号点的最短路径 }return 0;}