原标题：因数分解(费马的方法)

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今天讲如何把一个数分解成因数的乘积。这里介绍费马的方法。我用三个具体例子来展示这个方法的运行过程。

例1：

(1)待分解的数n=10379。计算√n(指n的开平方，下同)。它不是整数，否则10379就是一个平方数了，而平方数已完成了至少一步因数分解。

(2)取大于等于√n的正整数N。可写成N=[√n]+1，其中[ ]是取整函数。显然，N^2>n。

(3)求N^2－n。然后考察它是不是平方数。注意，N^2－n应该不是很大，所以，比较容易判断它是不是平方数。若是，则问题基本解决：可设这个平方数为M^2，则有M^2=N^2－n，即n=N^2－M^2。所以根据平方差公式便得到n=(N+M)(N－M)。若不是，则继续算(N+1)^2－n，看它是不是平方数，······一直进行下去，直到出现平方数为止，或根本不出现平方数(文后会讨论这种情况)。

(4)具体来说，√10379=101.877···。取N=102，则N^2=10404，于是

N^2－n=10404－10379=25

25=5^2，是平方数。所以n=(102+5)(102－5)=107×97。分解成功。两个因数能否再分解？文后有说明。

例2：

再来看n=93343的分解。√93343=305.52···。取N=306，则N^2=93636。于是，

293不是平方数，因为个位数是3(有一个快速判断一个数不是平方数的简易方法，就是看它的个位数是不是2,3,7,8，若是，则这个数不是平方数。这是因为一个数的平方，其个位数永远不可能为 2,3,7,8)。于是，继续算(N+1)^2－n。N+1=307。

(N+1)^2－n=307^2－93343

=94249－93343

=906

明显，它只比平方数900(=30^2)大一点点，而31^2=961，所以906不是平方数。继续算 (N+2)^2－n，

(N+2)^2－n=308^2－93343

=94864－93343

=1521

=39^2

结果是平方数。所以，

n=(308+39)(308－39)=347×269

这两个因数正好还都是素数，不能再分解了。

例3：

补充说明：

(1)我们用费马这种方法去分解的数一定是一个奇数。若是偶数，我们可以将其除以2，若结果还是偶数就再除以2，直至不再为偶数。然后我们再对这个奇数进行分解。

(2)我们可以不必知道这个待分解的奇数是不是合数，也有可能是素数。但费马的方法在进行过程中，若在某一步时成功分解，则原数是合数。这时这个合数被分解成了两个较小的奇数的乘积(两个因数必定都是奇数，因为原数是奇数)。成功分解之后，两个因数都还有可以再继续分解，可以继续用费马的方法进行，直到所有因数都为素数。

(3)很有可能费马方法进行下来，我们根本找不到某两个数它们的平方差等于原数。那么原数就是一个素数。这个是可以想得通的：因为若原数不是素数，则它一定可以写成两个奇数因数的乘积。而两个奇数的乘积是一定可以化为两个正整数的平方差的。比如，我们任意取两个奇数：359和283。计算出这两个数的差：359-283=76。这个差一定是一个偶数(奇数减奇数为偶数)，所以，这个差的一半必然是整数，这里，76/2=38。那么，我们把大的奇数因数写成某数加上38，即：321+38。把小的奇数因数写成某数减去38，即：321-38。这时的两个奇数因数分别为： 321+38和 321-38。两项中均出现了321。这不是巧合，而是必然的，因为38是两奇数因数之差的一半。 也就是说，“求差—取半...”等步骤后，两因数的乘积出现(a+b)(a-b)形式，是必然的。于是，原数就可以写成两数的两方差：a^2-b^2。所以，我们通过费马的方法，一定可以找到这对a和b。也就是说，找不到的话，就说明原数一定是素数。

(4)费马方法有局限性，它在两因数比较接近的情况下才很有效。返回搜狐，查看更多

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