CF1503D Flip the Cards（思维题）

题意

有 nnn 张卡，每张卡上面有一个数 aia_iai，下面有一个数 bib_ibi，每个数都在 [1,2n][1,2n][1,2n] 范围内且仅出现一次。卡的顺序可以随意调整。现在可以翻转若干张卡，使得存在 a1<a2<a3<...<ana_1< a_2< a_3<...< a_na1<a2<a3<...<an，b1>b2>b3>...>bnb_1> b_2> b_3>...> b_nb1>b2>b3>...>bn。要求翻转的次数最少，输出这个次数，无解输出 −1-1−1。
其中，n≤2⋅105,ai,bi∈[1,2n]n\le 2\cdot 10^5,a_i,b_i\in [1,2n]n≤2⋅105,ai,bi∈[1,2n]。

分析

最后的形式为：
a1<a2<...<anb1>b2>...>bna_1<a_2<...<a_n\\ b_1>b_2>...>b_na1<a2<...<anb1>b2>...>bn
那么，111 到 nnn 这些数一定是由 aaa 的一些前缀和 bbb 的一些后缀构成，n+1n+1n+1 到 2n2n2n 一定是由 aaa 的一些后缀和 bbb 的一些前缀构成。因此，如果存在一张卡使得 ai∈[1,n],bi∈[1,n]a_i\in[1,n],b_i\in[1,n]ai∈[1,n],bi∈[1,n] 或者 ai∈[n+1,2n],bi∈[n+1,2n]a_i\in[n+1,2n],b_i\in[n+1,2n]ai∈[n+1,2n],bi∈[n+1,2n]，那么一定是无解的。因此，每个 [1,n][1,n][1,n] 的数，都会对应一个 [n+1,2n][n+1,2n][n+1,2n] 的数。
现在，我们令 f(k)f(k)f(k) 表示 kkk 对应的数，k∈[1,n]k \in[1,n]k∈[1,n]。那么如果有解，数组 [f(1),f(2),...,f(n)][f(1),f(2),...,f(n)][f(1),f(2),...,f(n)] 一定可以拆分成两个递减序列，其中一个放到上面，另一个放到下面，每个拆分都会唯一对应一种划分方案。但是，拆分的解可能不唯一，所以答案也不唯一。
题解提供了一种很巧妙的做法，对所有 min⁡j≤if(j)≥max⁡j>if(j)\mathop{\min}\limits_{j\le i}f(j)\ge \mathop{\max}\limits_{j> i}f(j)j≤iminf(j)≥j>imaxf(j) 的 iii 进行分段，这样的好处是：

每一段都是独立的
每一段的方案都是唯一的

因此我们可以对每一段单独求解。
我们维护两个序列，每次将 f(i)f(i)f(i) 加入可以放的序列中即可，注意，除了第一个数，f(i)f(i)f(i) 的选择一定是唯一的。
因此我们就把这题做完了，复杂度是 O(n)O(n)O(n) 的。
好难呀=.=

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);int n;cin >> n;vector<int> a(n), b(n), c(n), mp(n), suf(n);for(int i = 0; i < n; i++){int cost = 0;cin >> a[i] >> b[i];if(a[i] > b[i]) cost = 1, swap(a[i], b[i]);if(a[i] > n || b[i] <= n) cout << -1 << '\n', exit(0);b[i] -= n + 1, a[i]--;c[a[i]] = cost, mp[a[i]] = b[i];}suf[n - 1] = mp[n - 1];for(int i = n - 2; i >= 0; i--) suf[i] = max(suf[i + 1], mp[i]);int Min = 1e9, ans = 0;vector<int> v1, v2;for(int i = 0, cost1 = 0, cost2 = 0; i < n; i++){Min = min(Min, mp[i]);if(v1.empty() || v1.back() > mp[i]){v1.push_back(mp[i]);cost1 += c[i];}else if(v2.empty() || v2.back() > mp[i]){v2.push_back(mp[i]);cost2 += c[i];}else cout << -1 << '\n', exit(0);if(i == n - 1 || Min > suf[i + 1]){ans += min(cost1 + v2.size() - cost2, cost2 + v1.size() - cost1);v1.clear(), v2.clear();cost1 = cost2 = 0;}}cout << ans << '\n';return 0;
}

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