【NOIP 2018 提高组】填数游戏

传送门

problem

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 n×mn \times mn×m 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 000 或者数字 111），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意：行列坐标均从 000 开始编号）

合法路径 PPP：一条路径是合法的当且仅当：

这条路径从矩形表格的左上角的格子 (0,0)(0,0)(0,0) 出发，到矩形的右下角格子 (n−1,m−1)(n - 1,m - 1)(n−1,m−1) 结束；
在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 P1P_1P1：(0,0)(0,0)(0,0) →→→ (0,1)(0,1)(0,1) →→→ (1,1)(1,1)(1,1) 和 P2P_2P2：(0,0)(0,0)(0,0) →→→ (1,0)(1,0)(1,0) →→→ (1,1)(1,1)(1,1)。

对于一条合法的路径 PPP，我们可以用一个字符串 w(P)w(P)w(P) 来表示，该字符串的长度为 n+m−2n + m - 2n+m−2，其中只包含字符 “R” 或者字符 “D”，第 iii 个字符记录了路径 PPP 中第 iii 步的移动方法，“R” 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“D” 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 P1P_1P1，有 w(P1)w(P_1)w(P1) === “RD”；而对于另一条路径 P2P_2P2，有 w(P2)=w(P_2) =w(P2)= “DR”。

同时，将每条合法路径 PPP 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 n+m−1n + m - 1n+m−1 的 010101 字符串，记为 s(P)s(P)s(P)。例如，如果我们在格子 (0,0)(0,0)(0,0) 和 (1,0)(1,0)(1,0) 上填入数字 000，在格子 (0,1)(0,1)(0,1) 和 (1,1)(1,1)(1,1) 上填入数字 111（见上图红色数字）。那么对于路径 P1P_1P1，我们可以得到 s(P1)=s(P_1) =s(P1)= “011011011”，对于路径 P2P_2P2，有 s(P2)=s(P_2) =s(P2)= “001001001”。

游戏要求小 D 找到一种填数字 000、111 的方法，使得对于两条路径 P1P_1P1，P2P_2P2，如果 w(P1)>w(P2)w(P_1) > w(P_2)w(P1)>w(P2)，那么必须 s(P1)≤s(P2)s(P_1) ≤ s(P_2)s(P1)≤s(P2)。我们说字符串 aaa 比字符串 bbb 小，当且仅当字符串 aaa 的字典序小于字符串 bbb 的字典序。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 000、111 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 109+710^9 + 7109+7 取模的结果。

数据范围：n≤8n\le 8n≤8，m≤106m\le 10^6m≤106。

solution

这算是一道打表找规律的题，考场上写了个 dfsdfsdfs 套 dfsdfsdfs 找了 n≤3n\le 3n≤3 的规律。

具体的推导过程我就不写了，可以看看这里。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define P 1000000007
using namespace std;
int n,m,inv128=570312504,inv384=190104168;
int add(int x,int y)  {return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
int dec(int x,int y)  {return x-y< 0?x-y+P:x-y;}
int mul(int x,int y)  {return 1ll*x*y%P;}
int power(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))  if(b&1)  ans=mul(ans,a);return ans;
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)  swap(n,m);if(n==1)  printf("%d\n",power(2,m));else  if(n==2)  printf("%d\n",mul(4,power(3,m-1)));else  if(n==3)  printf("%d\n",mul(112,power(3,m-3)));else{if(m==n)  printf("%d\n",(83ll*power(8,n)%P+5ll*power(2,n+7)%P)*inv384%P);else  printf("%d\n",(83ll*power(8,n)%P+power(2,n+8))*power(3,m-n-1)%P*inv128%P);}return 0;
}