1908：【18NOIP提高组】填数游戏

【题目描述】

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个n×mn×m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 00 或者数字 11），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

*我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意：行列坐标均从 00 开始编号）

*合法路径 P：一条路径是合法的当且仅当：

1.这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)(0,0)出发，到矩形的右下角格子(n−1,m−1)(n−1,m−1)结束；

2.在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是p1p1：(0,0)→(0,1)→(1,1)(0,0)→(0,1)→(1,1)和p2p2：(0,0)→(1,0)→(1,1)(0,0)→(1,0)→(1,1)。

对于一条合法的路径 PP，我们可以用一个字符串w(P)w(P)来表示，该字符串的长度为n+m−2n+m−2，其中只包含字符“RR”或者字符“DD”，第 ii 个字符记录了路径 PP 中第 ii 步的移动方法，“RR”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“DD”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径p1p1，有w(P1)="RD"w(P1)="RD"；而对于另一条路径p2p2，有w(P2)w(P2) = "DR"。

同时，将每条合法路径 PP 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为n+m−1n+m−1的 0101 字符串，记为 s(P)s(P)。例如，如果我们在格子(0,0)(0,0)和(1,0)(1,0)上填入数字00，在格子(0,1)(0,1)和(1,1)(1,1)上填入数字 11（见上图红色数字）。那么对于路径p1p1，我们可以得到s(P1)="011"s(P1)="011",对于路径p2p2，有s(P2)="001"s(P2)="001"。

游戏要求小 D 找到一种填数字 0、10、1 的方法，使得对于两条路径p1，P2p1，P2，如果w(P1)>w(P2)w(P1)>w(P2)，那么必须s(P1)≤s(P2)s(P1)≤s(P2)。我们说字符串 aa 比字符串 bb 小，当且仅当字符串 aa 的字典序小于字符串bb 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 0、10、1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对109+7109+7取模的结果。

【输入】

输入共一行，包含两个正整数 n、mn、m，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中 nn 表示矩形表格的行数，mm 表示矩形表格的列数。

【输出】

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 0、10、1 的方法能满足游戏的要求。注意：输出答案对 109+7109+7 取模的结果。

【输入样例】

2 2

【输出样例】

【提示】

【样例解释】

样例输入2】

3 3

【样例输出2】

【样例输入3】

5 5

【样例输出3】

【数据规模与约定】

测试点编号	n≤n≤	m≤
1∼41∼4	33	33
5∼105∼10	22	10000001000000
11∼1311∼13	33	10000001000000
14∼1614∼16	88	88
17∼2017∼20	88	1000000

代码如下：

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define P 1000000007 using namespace std;

int n,m,inv128=570312504,inv384=190104168;

int add(int x,int y) {return x+y>=P?x+y-P:x+y;}

int dec(int x,int y) {return x-y< 0?x-y+P:x-y;}

int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y%P;}

int power(int a,int b){ int ans=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans; }

int main(){

scanf("%d%d",&n,&m);

if(n>m) swap(n,m);

if(n==1)

printf("%d\n",power(2,m));

else if(n==2) printf("%d\n",mul(4,power(3,m-1)));

else if(n==3) printf("%d\n",mul(112,power(3,m-3)));

else{ if(m==n) printf("%d\n",(83ll*power(8,n)%P+5ll*power(2,n+7)%P)*inv384%P);

else printf("%d\n",(83ll*power(8,n)%P+power(2,n+8))*power(3,m-n-1)%P*inv128%P);

}

return 0;

}