数学文章 关于圆锥体积公式的证明
我们大约在小学四年级的时候学过圆锥的体积=等底等高圆柱的体积除以3
有人问了：怎么是除以3呢？我觉得应该是2鸭。。。（我当时就是这么想的）
也很好想，圆锥是由一个三角形转出来的，圆柱是一个长方形转出来的，三角形的面积是对应长方形的一半，那么转一圈之后，体积应该也是一半鸭？
很简单，三角形是长方形面积一半，是因为面是线叠加起来的，也就是[0,h][0,h][0,h]中f(x)=rxhf(x)=\frac{rx}{h}f(x)=hrx的积分。
先放结论，1/3是积分积出来的。
考虑体积，它就是f(x)=(rxh)2×πf(x)=(\frac{rx}{h})^2\times \pif(x)=(hrx)2×π的积分。显然，π(rh)2\pi(\frac{r}{h})^2π(hr)2是常数，提出来。然后剩下x2x^2x2。先求不定积分得13x3\frac{1}{3}x^331x3（这里已经出现13\frac{1}{3}31了，所以，体积公式的13\frac{1}{3}31是积分的时候得到的）然后用牛顿-莱布尼茨公式（说OIOIOI话，就是前缀和相减），f(x)=(rxh)2×πf(x)=(\frac{rx}{h})^2\times \pif(x)=(hrx)2×π的定积分为代入x=hx=hx=h时的不定积分-代入x=0x=0x=0时的不定积分，也就是π(rh)2×13h3+C−C=13πr2h3h2=13πr2h\pi(\frac{r}{h})^2 \times \frac{1}{3}h^3+C-C=\frac{1}{3}\pi \frac{r^2 h^3}{h^2}=\frac{1}{3} \pi r^2 hπ(hr)2×31h3+C−C=31πh2r2h3=31πr2h。证毕。
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