线性方程组的结构

如何处理一些没有解或是有无数解的线性方程组？

举例三元一次方程组

高斯-约旦消元法 ==>
在将第三行与第二行相加消元后 ==>

第三行全为0，无法找到一组xyz来满足这个线性方程组，此时这个线性方程组是无解的！

举例2 三元一次方程组

高斯-约旦消元法 ==>

在将第三行与第二行相加消元后 ==>

在此时，第三行的方程组全为0，这个方程是成立的，存在xyz满足相乘后为0，即xyz任意取值都能成立。

在这种情况下，高斯消元的过程已经结束了。

所以反向执行约旦消元法。
从最后一个主元开始进行操作，而此时的最后一个主元不在第三行而是第二行，第三行已经没有主元了。

==> 消去第二行主元上的所有元素

==> 代表的方程组
而此时，这个解意味着，z任意取值，都能得到一组x,y,z,满足方程组 ==> 方程组有无数组解

高斯-约旦消元法本质上是将增广矩阵变成了阶梯型矩阵
定义阶梯型矩阵
==>

如果矩阵有全零行，那全零行一定位于矩阵的最底层
对于其他非全零行的每一行，其中第一个非零元素（主元）随着行数的不断上升，位置逐渐向右偏
非零行的第一个元素（主元）为1
主元所在列的其他元素均为0

行最简形式
reduced row echelon form RREF

举例复杂的行最简形式
满足行最简形式的定义

举例不是行最简形式

通过行最简形式来理解线性方程组解的结构

有唯一解
无解
有无数解

综上， 系数矩阵的非零行 < 行最简形式非零行 ==> 方程组无解
A非零行 < 未知数个数 ==> 方程组无数解
反例

方程数与未知数不匹配，有唯一解

A非零行 = 未知数个数 ==> 方程组唯一解
反例

方程数与未知数不匹配，有无数解。

直观理解线性方程组解的结构

n个未知数需要有n个方程，才可能有唯一解。
举例二元一次方程

在二维平面中表示这个方程 ==>

即表示，在这条直线上的任意点都可以满足这个方程。

如果再加上一个方程 ==>

在二维平面中表示这两个方程 ==>

即表示，在这两条直线的交点满足该方程组，有唯一解。

将第二个方程调换 ==>
在二维平面中表示这两个方程 ==>

即表示，这两条直线没有交点，无解。

综上 ==> n个未知数有n个方程才有可能有唯一解，或是无解。

将上述思路拓展到三元一次方程中 ==>

将这个方程放到三维空间中 ==>

使用两个三元一次方程联立 ==>

如果这两个平面相交的话，即会有一条直线相交，那这条直接上所表示的所有点，无数个点，都可以满足这两个方程组。

如果两个平面平行，则没有交点，无解。

综上 ==> 如果方程组的个数小于未知数个数，那就一定没有唯一解，或是无解。

引入第三个三元一次方程 ==>

在三个平面都相交的情况下，就可能在两个平面相交的直线上，产生一个三个平面都相交的点，这个点就是唯一解。

==> 在另一种情况下

在这种情况下，三个平面相交的是一条直线，所以有无数解。

在这三个平面平行的情况下，没有交点，无解。

在这种情况下，虽然有平面相交，但是相交的位置没有公共点，相交的位置是平行的，所以无解。

在这种情况下，虽然三个平面两两相交，但是得到的位置是三条平行线，所以无解。

如果再引入一个三元一次方程，即四个三元方程联立会是什么情况呢？
==>

在这种情况下，虽然这四个平面两两相交，但是也没有公共点，这四个平面中间存在一个立体三角形的空间。在不断的调整这个四个平面，使这个个立体三角形不断的缩小，直到只有一个点的时候，此时这个方程组就有了唯一解。

更直观的通过二元方程来看待这个问题 ==>
三个二元方程联立

在这种情况下，没有公共点。只有在新的直线与之前的两个的交点相交的时候，才有公共点。
当三根直线完全重合时 ==>

此时，这三个二元方程的交点为一条直线，有无数解。

综上，如果方程个数多于未知数个数 ⇒ 这个方程可能唯一解、无解、无数解。

这是正常情况下 ==>

在化为行最简形式后 ==>
系数矩阵的非零行不可能大于未知数个数

不可能存在这样一个矩阵，在只有三列的系数矩阵中，却有四个非零行，同时还是一个行最简形式。

综上，在行最简式情况下 ==>
而其中，无解的判断非常简单。在增广矩阵的系数矩阵化为行最简形式后，看有没有存在矛盾的行就可以判断了。所以，在行最简形式下可以简化为 ==>

而在行最简形式A非零行 = 未知数的时候，此时是不会有无数解的 ==>

因为，行最简形式的定义就说明了，如果系数矩阵的 A非零行 = 未知数的话，那非零行的系数矩阵一定是单位矩阵。
==> 系数矩阵的非零行 = 未知数个数 ==> 一定有唯一解

所以，在行最简形式下可以简化为 ==>

这个结论的前提是系数矩阵化为行最简形式后，不存在矛盾行。
行最简形式A非零行 < 行最简形式Ab非零行 ==> 无解

更一般的线性系统求解

如果方程个数与未知数个数不匹配的话，在使用高斯-约旦消元法的时候，会产生什么问题呢，怎样来处理？

举例五元方程，四个方程组 ==>

执行前向过程 ==>

发现在第二、三、四行，除了首元素化为了0，第二个元素也都化为了0，没有一个元素可以当作主元，那应该怎么办呢？
> 继续从第三个元素确定主元
> 继续执行前向操作

==> 继续确定第三行主元，但是发现第三行第四列元素为0，并且下面所有的行第四列都为0，所以 第四列找不到主元 ==> 从第五列找主元

==>继续执行前向操作

最终化为 ==>

==> 执行后向操作，第三行主元上面的元素都化为0

==> 第二行主元上面的元素都化为0
==> 行最简形式

对应的方程 ==>

> 变换为以主元的等式方程

即x,z,u符合这个线性方程组的一组解，w，y可以任意取值。> 无数解

含有主元的称为 主元列。
没有主元的称为 自由列。

将上述一组解化为列向量形式 ==>

从行最简形式直接读出了整个线性系统的解。

举例二元方程，三个方程组 ==>

执行前向操作 ==>

由于最后一行矛盾 ==> 方程组无解。

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