yxy小蒟蒻的201111总结

2020.11.11 周三

今天是单身节啊我不愧是万年寡王一到单身节rp就++了

BBB题居然过了笑死我了我那个假算法这种组合计数的题我很少做对的基本是没有

当时我想着肯定做不出来写了个假算法就玩交互去了

然后交互主要是读题读错了本身题目是不难的二分它倍增的步数

CCC题太有意思了妙不可言我还想再开个博客慢慢掰扯掰扯二分图

A

给定长度为 nnn 的序列 ai=1n{a}_{i=1}^nai=1n，每次随机找到相邻两个元素 ai,ai+1a_i,a_{i+1}ai,ai+1，将它们合并为ai−ai+1a_i-a_{i+1}ai−ai+1。求最后得到的数的期望值。对 1e9+71e9+71e9+7 取模

结论 ans=a0−a1ans=a_0-a_1ans=a0−a1

KonjacqKonjacqKonjacq大佬说了个证明挺有意思的

显然当只有三个数的时候第三个数是没有贡献的
显然对于某一个数无论怎么选它后面的数不影响它的贡献

那么对于一个位置大于等于333一个数一定存在一个时刻它是第三个数它所以没有贡献

B

给定整数 n,m,kn,m,kn,m,k。

我们称一个 111 到 nnn 的排列 ppp 是好的，当且仅当有恰好 mmm 个 iii 满足 pi=ip_i=ipi=i。

请求出所有 111 到 nnn 的排列中，字典序第 kkk 小的排列。若不存在，则输出 −1-1−1。

每一位从小到大枚举可以放哪个数能放就放

checkcheckcheck的时候我是 O(n)O(n)O(n) 算的不知道为什么就过了

我稍微证了一下时间大概就每次都是枚举每一位的时候当前的 kkk 都是指数级别的递减

然后远远跑不满 O(n3)O(n^3)O(n3)

真跑得飞快

C

给定正整数 n,mn,mn,m。

你想构造一个两边均有 nnn 个点（左边的点编号为 111 到 nnn，右边的点编号为 n+1n+1n+1 到 2n2n2n），共有 mmm 条边（允许有重边）的二分图，满足其最大匹配大小不大于 rrr 且不小于 lll。

若与第 iii 个点相连的边有 did_idi 条，则该二分图的价值是所有 pi,dip_{i,d_i}pi,di 的和。

请求出所有满足条件的二分图中价值的最小值，或判断无解。

这个题太有意思了首先要知道 Hall定理 (我在这儿学的,Henry_Huang大佬写东西就是好)

题面让我们求最大匹配在一个区间内的所有方案中价值最小的方案

这个价值只和每个点的度数有关

其实定了每个点的度数的方案它可以取到的最大匹配是一个区间 (想想为什么可以手模一下)

maxmaxmax 是左右两边度数非 000 的点少的那一个的数量

minminmin 不能直接求得先放一下继续看

那么判断一个方案是否在 [L,R][L,R][L,R] 区间内就是要求这个方案 max≥Lmax \ge Lmax≥L 且 min≤Rmin \le Rmin≤R

由于 HallHallHall定理推论 V1+minS⊂V1(∣N(S)∣−∣S∣)V1+min_{S⊂V1}{(|N(S)|−|S|)}V1+minS⊂V1(∣N(S)∣−∣S∣)

V1V1V1 是左边的点 SSS 是子集 N(S)N(S)N(S) 是与 SSS 相邻的右边的点的集合

是不是如果一个方案中有一个二分图中存在一个 SSS 使得 V1+∣N(S)∣−∣S∣≤RV1+|N(S)|−|S| \le RV1+∣N(S)∣−∣S∣≤R 那么这个方案就合法

那么我们可以枚举 SSS 和 N(S)N(S)N(S) 并且枚举左边的总度数和右边的总度数让它们直接连边

预处理左边取 SSS 并指定 SSS 总度数的合法方案中的最小价值和右边取 N(S)N(S)N(S) 并指定 N(S)N(S)N(S) 总度数的合法方案中的最小价值

这样的话对 minminmin 和 maxmaxmax 的要求都满足了

再把他们加起来就更新答案

D

交互先咕咕了

占坑

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