高等数学复习之空间解析几何

4月份考试结束了，同时也宣告了，自己求快复习方案的失败。仅靠残存的知识，直接做题，复习方案的失败。功利的下场就是连题都不知在说什么，尤其是数学类的，没有构建起体系知识前，就不要做题。

知识点：

空间直角坐标系？？

规定是用右手法则来确定的，大拇指向Z轴，四个指尖指向Y轴，四个指背指向x轴。坐标系将空间分成八个卦限，正对xyz方向为第一卦限，逆时针旋转，分别为2~4，第一卦限下方为第五卦限。如下图所示：

坐标系里的点M记为：M(x,y,z).
空间两点间的距离公式？？

P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如下图所示：求解思路是求解在空间各点的增量，进而将增量投影到观察面中，由于是同一个面，组成一个三角形，求解面积即可得到距离。

∣P1P2∣=(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2|\mathrm{P} 1 \mathrm{P} 2|=\sqrt{(x-x)^{2}+(y-y)^{2}+(z-z)^{2}}∣P1P2∣=(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2
第一个需要记忆的公式
0向量？自由向量？单位向量？？向量之间的位置关系？

0向量：长度为0的向量，方向可以任意，
单位向量，长度为1的向量。
自由向量：平移得到的向量（相对原向量来讲）
位置关系：夹角：(A,B)^\widehat{(A, B)}(A,B) 范围: 0<(A,B)^<π0<\widehat{(A, B)}<\pi0<(A,B)<π 平行：α∥β\alpha \| \betaα∥β 垂直：α⊥β\alpha \perp \betaα⊥β
向量的运算？？

加减法：符合平行四边形法则和三角形法则：如下图所示：

注：“减法” 如何解释呢？
如下图所示：

线性规则：

交换律：a+b=b+a;
结合律(加法）：(α+β)+γ=α+(β+γ)(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta})+\gamma=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\gamma)(α+β)+γ=α+(β+γ)
数乘：向量与数的乘法；在原向量基础上扩大或向相反方向扩大多少倍。性质：数与向量都分别满足结合律和分配律。
投影：记为：Prj_uAB‾\overline{A B}AB在u轴上的投影向量。投影具有平移不变性，所以，当平移一个向量与坐标轴u相交时，Prj_ua=|a|cosφ\varphiφ;φ\varphiφ是向量a与坐标轴u的夹角。这其实是投影定理。性质：投影满足向量的分配律及数乘时，数可以提出来。有了投影，就可以表示向空间点的坐标，记为：{a_x,a_y,a_z},给定两点的向量可以表示为：M1M2→=(x2−x1)i+(y2−y1)j+(z2−z1)k={x2−x1,y2−y1,z2−z1}\begin{aligned} \overrightarrow{M_{1} M_{2}} &=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) j+\left(z_{2}-z_{1}\right) \boldsymbol{k} \\ &=\left\{x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right\} \end{aligned}M1M2=(x2−x1)i+(y2−y1)j+(z2−z1)k={x2−x1,y2−y1,z2−z1};i,j,k分别为x,y,z轴上的单位向量。
数量积：a.b=|a|.|b|cosΘ\ThetaΘ(这个就是数量积的定义，不是由别的公式推导而来),Θ\ThetaΘ还是向量a,b的夹角。所以如果，a.b=0,说明两个向量是垂直的,因为cosπ2=0\frac{\pi}{2}=02π=0。数量积是关于向量模的运算，不在乎方向，只关注数量

由投影的定义可得b在a上的投影Prja b=|b|cosΘ\ThetaΘ所以a.b=|a| . |b| cosΘ\ThetaΘ= |a| Prja b.

数量积的坐标形式：a{a1,a2,a3},b{b1,b2,b3},那么 a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
向量积：a X b,不能单纯用等式来表示了，因为有了方向要化成三阶行列式形式（带了单位向量）所以，向量积的坐标表示：a×b=∣ayazbybz∣i−∣axazbxbz∣j+∣axaybxby∣k=∣ijkaxayazbxbybz∣\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ll}a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z}\end{array}\right| \boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{ll}a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z}\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{cc}a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y}\end{array}\right| \boldsymbol{k}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|a×b=∣∣∣∣aybyazbz∣∣∣∣i−∣∣∣∣axbxazbz∣∣∣∣j+∣∣∣∣axbxayby∣∣∣∣k=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣，大小是：|a X b|=|a|.|b|.sinΘ\ThetaΘ.Θ\ThetaΘ还是向量a,b的夹角.另一个是a X b的方向是垂直于a与b所在的平面，符合右手法则。所以，如果aXb=0,说明两向量是平行的（只用向量积的大小公式就可以证明必要性，充分性更好证明，即平行可得大小公式或零向量）。如下图：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FmmTZyp6-1622643680621)(pj6.jpg)],反交换律：axb=-(axb)是整体前面加了负号，而不是bxa,所以是反交换律。及结合律及分配律。

5.空间中的图形？？
曲面方程：可以看作是空间中的点的运动轨迹满足方程F(x,y,z).方程解集满足图形的包含关系，曲面上关于平面对称点，也满足方程的对称点表示。

旋转曲面：曲线绕平面的一条直线旋转，所生成的曲面。绕坐标轴旋转，可以直接由曲线方程写出曲面方程：如图：

曲线f(y,z)绕Z轴旋转，旋转曲面上的点到z轴的距离是相等的，根据这个规律，写出距离方程y1=±x2+y2y1=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}y1=±x2+y2,曲面方程就是用这个距离代替原来的y,所以可以表示为：f(±x2+y2,z)=0f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0f(±x2+y2,z)=0，绕的哪个轴旋转，则曲线中的哪个不变。如上式中的z
柱面：在一个面上的曲线（准线），沿曲线不停的作平行于另一轴的线，形成的曲面就是柱面，特点是：空间中的柱面方程与准线方程是一样的。如下图所示：

空间中的曲线一般方程：可以看作是两个曲面的交线，所以可以看作是两个曲面方程组的解，是曲线上的点。这里还是比较抽象的，一般的思维是线到面，这里反倒求面的交线，主要是为了数学实现，因为前面曲面方程已经可以表示了，还是由已知推导未知的思想！

空间曲线的参数方程：思想是将曲线上的动点的坐标(x,y,z)分别表示成参数t的函数得到空间曲线的参数方程：{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{array}\right.⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
空间曲线在坐标面上的投影：思想是：**在知道曲线的一般方程后，向哪个面投影，就消去方程组中垂直于哪个面坐标轴的变量表示，得到f(a,b),根据柱面知识，这就是柱面方程形式，从而可以用柱面方程表示投影柱面和投影曲线。**如下图所示：
空间中的平面与直线

空间中的平面：
点法式方程：由平面上一点P0(x,y,z)与平面的法向量n={A,B,C}确定,这里确切的说应该是经过点p0与法向量垂直.，根据垂直的充要条件，两个向量的数量积等于0，所以n.pp0=0:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0,如下图所示,

注：[^1]背后隐藏的原理：平面过一点，法向量垂直与平面，那么必有平面有一个交点垂足，从而两点确定一条直线，这里就有个逻辑上的问题了，三点确定一个平面，这里只有两个点如何唯一确定一个平面呢？？第三个点在哪里呢？肯定是有第三个点的，这个第三点就是上面公式所要解决的问题，反向推理，假设存在第三点p₀(x₀,y₀,z₀),那么法向量与p₀p一定是点乘等于0，从而求得公式。

特殊位置的平面方程：
由点法式公式展开，可得到一般方程Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0，这里的ABC是特指的，不再是系数了，而是指法向量.所谓特殊位置指的就是法向量坐标其中之一为0时的情形：
A=0;法向量为{0,B,C}与基本单位向量i{1,0,0}垂直，所以平面与x轴平行。
解释：详见注[^2]注[3]

B=0;与y轴平行
c=0;与z轴平行

D=0;平面是过原点,详见注[^4]

A=D=0;通过x轴（A=0千成不要以为只有垂直时平行x轴，其实是切x轴全长的，D=0是过原点，所以只能是过x轴）
A=B=0;平行于xoy面，可化简成z=h形式。（相当于这个法向量在x轴上与y轴的投影都为零，那只能是Z轴，与z轴垂直的面就是平行于xoy的面）。

A,B,C,D都不为0，与三个坐标轴必有一个交点坐标为(a,b,c),这个坐标称为在xyz轴上的截距。xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1这个公式称为截距式方程。

截距的定义是很好理解的，关键是如何由一般方程取得截距？？？？

1、写出一般方程表达式：Ax+By+cZ+D=0

2、D移到等号右边 Ax+By+cZ=-D

3、等号两边同时除以-D （Ax+By+cZ）/ (-D)=1化简成截距方程的形式，可以截距。

注：[^2]法向量能否从空间中想像的到呢？{0,B,C}是什么样子的呢？

由于是向量，所以肯定是空间中的一条有方向的直线，那么向量任取两点，那向量A=0的坐标形式x2-x1=0,能说明什么呢？肯定是垂直切x轴的一个面

注[^3]:想像一下与x轴平行的样子？？？

接:注[^2],既然法向量是切x轴的一个面，那么与法向量垂直的面，要么是切y轴要么是切z轴，但总之是与x轴平行，有无数个这样的面。

注：[^4]D=0是什么样子的呢？

D其实是点法式方程的展开后，-(Ax₀+By₀+Cz₀),因为（x0,y0,z0)几何上表示的是已知点p0.又因为D=0,而前面的法向量{A,B,C}不全为0，所以只能是已知点就是原点(0,0,0),所在无论法向量的三个坐标值有没有为0的，平面肯定是过原点的。

两个平面的位置关系：
夹角：定义为两个平面法向量平面夹角中的锐角。cos⁡θ=∣cos⁡((n1,n2)^)∣\cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(n1, n2)}\right)\right|cosθ=∣∣∣cos((n1,n2))∣∣∣，法向量夹角余弦的绝对值等于两平面夹角的余弦。利用前面数量积的公式，可求得cos(θ)cos(\theta)cos(θ),如下图所示:

两平面特殊的位置关系：垂直：点乘为0，也就是A1A2+B1B2+C1C2=0

平行：A1A2=B1B2=C1C2\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}A2A1=B2B1=C2C1

这里一定要与向量平行充要条件aXb=0要区分开来，也就是要想像出向量平行的样子？？？平面平行的样子？？？

向量平行时，aXb=0，最有效的理解是，aXb的方向是同时垂直于a,b（也就是ab所确定平面），而=0时，要么是，a或b是零向量，要么就是aXb与ab同一个面，而aXb的方向同一面上与ab垂直，那只能是ab平行了。

平面平行，法向量是平行的，这里一定要理解法向量只代表平面的方向，不太注重大小，可以长度就是单位长度。法向量平行的，其实不光是法向量，只要是向量平行，那他们的坐标一定是成比例的，这其实是个定理。深究一下也可以，这个定理就是共线定理，若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。所以平行向量，也叫共线向量。

空间中的直线：

点向式方程（也叫对称式方程）：由直线上的一个点p(x,y,z)和直线一个方向向量v={l,m,n}。注：什么是方向向量呢？就是与直线平行的非零向量。由平行可知，对应点的坐标是成比例的。所以直线上任意一点满足：x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}lx−x0=my−y0=nz−z0,如下图所示：

参数式方程：令点向式方程：x−x0l=y−y0m=z−z0n=t\frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}=tlx−x0=my−y0=nz−z0=t，则xyz都可用t来表示：{x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt\left\{\begin{array}{c}x=x_{0}+l t \\ y=y_{0}+m t \\ z=z_{0}+n t\end{array}\right.⎩⎨⎧x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt

两条直线的位置关系：

夹角：定义为两条直线方向向量夹角中的锐角。设两直线方向向为v1{l1,m1,n1},v2{l2,m2,n2},于是cos⁡θ=∣cos⁡((v1,v2)^)∣\cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(v1, v2)}\right)\right|cosθ=∣∣∣cos((v1,v2))∣∣∣，其他两直线夹角余弦的计算公式，垂直，平行，与平面夹角是类似的。

直线与平面的夹角：直线与其在平面上投影的直线的夹角。夹角[0,90^o].直线方向向量v与平面的法向向量n的夹角中锐角 θ\thetaθ与直线与平面夹角 ϕ\phiϕ 互余。所以 cos⁡θ=∣cos⁡((v,n)^)∣\cos \theta=\left|\cos \left(\widehat{(v, n)}\right)\right|cosθ=∣∣∣cos((v,n))∣∣∣，sin⁡ϕ=∣cos⁡((v,n)^)∣\sin \phi=\left|\cos \left(\widehat{(v, n)}\right)\right|sinϕ=∣∣∣cos((v,n))∣∣∣. 直线与平面夹角正弦计算公式与平面与平面，直线与直线类似，但平行与垂直不同，垂直是成比例，平行是坐标乘积等于0（因为是互余关系）

点到平面的距离公式：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C8.d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{8}}} .d=A2+B2+C8∣Ax0+By0+Cz0+D∣.(A,B,C)是平面的法向量,(x0,y0,z0)是点。推导就是用了数量积，法向量与点到平面的向量数量积。、
- 常见的二次曲面
什么是二次曲面？是由三元二次方程确定的曲面。注：平面是三元一次方程。

球面、圆柱面、旋转抛物面都是二次曲面。其他常见二次曲面：

椭球面：

方程：x2a2+y2b2+z2c2=1(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a2x2+b2y2+c2z2=1( 其中, a>0,b>0,c>0)a>0, b>0, c>0)a>0,b>0,c>0)当a=b=c时，x^2 + y^2 + z^2= a^2,即球面。

当a,b,c有两个相等时，方程表示为旋转椭球面。

椭圆抛物面：

方程：z=x2a2+y2b2(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}(z=a2x2+b2y2( 其中, a>0,b>0a>0, b>0a>0,b>0 )

当a=b时，z=(x^2 + y^2) / a^2;变成了旋转抛物面。

随圆锥面：

方程：z2=x2a2+y2b2(z^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \quad(z2=a2x2+b2y2( 其中, a>0,b>0)a>0, b>0)a>0,b>0)

当a=b,变成圆锥面。

当z=sqr(x^2 + y^2),表示顶点在原点开口朝上的圆锥面

当z=-sqr(x^2 + y^2),表示顶点在原点开口朝下的圆锥面

单叶双曲面：了解下就行！！

方程：x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quada2x2+b2y2−c2z2=1 (其中, a>0,b>0,c>0a>0, b>0, c>0a>0,b>0,c>0 )

双叶双曲面：

方程：x2a2+y2b2−z2c2=−1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1a2x2+b2y2−c2z2=−1 (其中, a>0,b>0,c>0)\left.a>0, b>0, c>0\right)a>0,b>0,c>0)
总结：看了下，高数第一章的内容，断断续续进行了一个多月，还是有些压力的。也可能是基础太差了吧！到这里算是一个了结，先放一下吧！集中精力，备考另外三科！有所得最重要，至于过不过的，顺其自然！

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