偏微分方程常用不等式

不等式不仅是分析学的重要内容，也是处理数学问题的有力工具.本文介绍作者在研究偏微分方程中遇到的几个常用且重要的不等式，掌握其内容和证明思想，并熟练应用，便于以后的学习和研究.

文章目录

偏微分方程常用不等式
- 对数不等式
- 算数平均值-几何平均值不等式
- 柯西(Cauchy)不等式
- 施瓦茨(Schwarz)不等式
- 杨(Young)不等式
- 霍尔德(Hölder)不等式
- - 基本形式
  - 积分形式
- 格朗沃尔 (Grönwall) 不等式
- - 连续形式
  - 离散形式
- 詹森(Jensen)不等式
- 闵可夫斯基(Minkowski)不等式
- - 基本形式
  - 积分形式
- 贝塞尔(Bessel)不等式
- 庞加莱(Poincaré)不等式
- 哈代(Hardy)不等式

对数不等式

x1+x≤ln⁡(1+x)≤x,x>−1,\frac{x}{1+x} \leq \ln (1+x) \leq x, x>-1, 1+xx≤ln(1+x)≤x,x>−1,
等号成立当且仅当 x=0x=0x=0.

算数平均值-几何平均值不等式

设 ai≥0,i=1,2,…,na_i \geq 0, i=1,2, \ldots, nai≥0,i=1,2,…,n, 则成立
n(1a1+1a2+…+1an)≤a1a2…ann≤a1+a2+…+ann\frac{n}{\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \leq \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} (a11+a21+…+an1)n≤na1a2…an≤na1+a2+…+an
等号成立当且仅当.

柯西(Cauchy)不等式

设 ai,bia_i, b_iai,bi 为任意实数 (i=1,2,…,n)(i=1,2, \ldots, n)(i=1,2,…,n), 则有
(∑i=1naibi)2≤∑i=1nai2⋅∑i=1nbi2,\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n b_i^2, (i=1∑naibi)2≤i=1∑nai2⋅i=1∑nbi2,
等号成立当且仅当 aia_iai 与 bib_ibi 成比例.

施瓦茨(Schwarz)不等式

若 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上可积, 则有
(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫ab[f(x)]2dx∫ab[g(x)]2dx\left(\int_a^b f(x) g(x)dx\right)^ 2 \leq \int_a^b[f(x)]^2 d x \int_a^b[g(x)]^2 d x (∫abf(x)g(x)dx)2≤∫ab[f(x)]2dx∫ab[g(x)]2dx
若 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续, 则等号成立当且仅当存在常数 α,β\alpha, \betaα,β 使得 αf(x)=βg(x)(α,β\alpha f(x)=\beta g(x)(\alpha, \betaαf(x)=βg(x)(α,β 不同时为零 ))).

杨(Young)不等式

假设 a>0,b>0,p>1,q>1a>0, b>0, p>1, q>1a>0,b>0,p>1,q>1, 且 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p1+q1=1, 则
ab≤app+bqq.a b \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} . ab≤pap+qbq.
尤其是, 当 p=q=2p=q=2p=q=2 时, 上述不等式也称为柯西(Cauchy)不等式.

霍尔德(Hölder)不等式

基本形式

设 ai≥0,bi≥0(i=1,2,…,n),p,q∈Ra_i \geq 0, b_i \geq 0(i=1,2, \ldots, n), p, q \in Rai≥0,bi≥0(i=1,2,…,n),p,q∈R 且 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p1+q1=1, 则当 p>1(q<1)p>1(q<1)p>1(q<1) 时,
∑i=1naibi≤(∑i=1nai)1p⋅(∑i=1nbi)1q;\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{p}} \cdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^{\frac{1}{q}} ; i=1∑naibi≤(i=1∑nai)p1⋅(i=1∑nbi)q1;
当 p<1,p≠0(q<1)p<1, p \neq 0(q<1)p<1,p=0(q<1) 时,
∑i=1naibi≥(∑i=1nai)1p⋅(∑i=1nbi)1q,\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{p}} \cdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^{\frac{1}{q}}, i=1∑naibi≥(i=1∑nai)p1⋅(i=1∑nbi)q1,
其中等号成立当且仅当 ai,bia_i, b_iai,bi 成比例 [∃α,β\left[\exists \alpha, \beta\right.[∃α,β 不全为零使 αaip=βbiq(i=1,2,…,n)]\left.\alpha a_i^p=\beta b_i^q(i=1,2, \ldots, n)\right]αaip=βbiq(i=1,2,…,n)].

积分形式

设 f(x)≥0,g(x)≥0f(x) \geq 0, g(x) \geq 0f(x)≥0,g(x)≥0 在 [a,b][a, b][a,b] 上可积并使下述积分有意义, p,q≠0,1p, q \neq 0,1p,q=0,1 且 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p1+q1=1, 则有当 p>1(q<1)p>1(q<1)p>1(q<1) 时,
∫abf(x)g(x)dx≤(∫abf(x)dx)1p⋅(∫abg(x)dx)1q\int_a^b f(x) g(x) d x \leq\left(\int_a^b f(x) d x\right)^{\frac{1}{p}} \cdot\left(\int_a^b g(x) d x\right)^{\frac{1}{q}} ∫abf(x)g(x)dx≤(∫abf(x)dx)p1⋅(∫abg(x)dx)q1
当 p<1,p≠0(q<1)p<1, p \neq 0(q<1)p<1,p=0(q<1) 时，
∫abf(x)g(x)dx≥(∫abf(x)dx)1p⋅(∫abg(x)dx)1q;\int_a^b f(x) g(x) d x \geq\left(\int_a^b f(x) d x\right)^{\frac{1}{p}} \cdot\left(\int_a^b g(x) d x\right)^{\frac{1}{q}} ; ∫abf(x)g(x)dx≥(∫abf(x)dx)p1⋅(∫abg(x)dx)q1;
若 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 成比例, 那么等号成立当且仅当 fp(x),gq(x)f^p(x), g^q(x)fp(x),gq(x) 成比例.

格朗沃尔 (Grönwall) 不等式

连续形式

假设 α,β\alpha, \betaα,β 为任意非负常数, η(x)(a≤x≤b)\eta(x)(a \leq x \leq b)η(x)(a≤x≤b) 为连续函数, 且满足
∣η(x)∣≤β+α∫ax∣η(t)∣dt,a≤x≤b,|\eta(x)| \leq \beta+\alpha \int_a^x|\eta(t)| d t, \quad a \leq x \leq b, ∣η(x)∣≤β+α∫ax∣η(t)∣dt,a≤x≤b,
则
∣η(x)∣≤βeα(x−a),a≤x≤b.|\eta(x)| \leq \beta e^{\alpha(x-a)}, \quad a \leq x \leq b . ∣η(x)∣≤βeα(x−a),a≤x≤b.

离散形式

假设 α,β\alpha, \betaα,β 为任意非负常数, 序列 {ηn}\left\{\eta_n\right\}{ηn} 满足
∣ηn∣≤β+αh∑j=0n−1ηj,n=k,k+1,⋯,nh≤T,\left|\eta_n\right| \leq \beta+\alpha h \sum_{j=0}^{n-1} \eta_j, \quad n=k, k+1, \cdots, n h \leq T, ∣ηn∣≤β+αhj=0∑n−1ηj,n=k,k+1,⋯,nh≤T,
其中 h>0h>0h>0 表示步长, 则
∣ηn∣≤eαT(β+αkhM0),n≥k,nh≤T.\left|\eta_n\right| \leq e^{\alpha T}\left(\beta+\alpha k h M_0\right), \quad n \geq k, n h \leq T . ∣ηn∣≤eαT(β+αkhM0),n≥k,nh≤T.
其中 M0=max⁡(∣η0∣,∣η1∣,⋯,∣ηk−1∣).M_0=\max \left(\left|\eta_0\right|,\left|\eta_1\right|, \cdots,\left|\eta_{k-1}\right|\right).M0=max(∣η0∣,∣η1∣,⋯,∣ηk−1∣).

詹森(Jensen)不等式

若 f(x)f(x)f(x) 是区间 [a,b][a, b][a,b] 上的下凸函数，则对任意的 x1,x2,x3,…,xn∈[a,b]x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n \in[a, b]x1,x2,x3,…,xn∈[a,b], 有不等式:
∑i=1nf(xi)n≥f(∑i=1nxin)\frac{\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right)}{n} \geq f\left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right) n∑i=1nf(xi)≥f(n∑i=1nxi)
当且仅当 x1=x2=x3=…=xnx_1=x_2=x_3=\ldots=x_nx1=x2=x3=…=xn 时等号成立.
其加权形式为：
若 f(x)f(x)f(x) 是区间 [a,b][a, b][a,b] 上的下凸函数, 则对任意的 x1,x2,x3,…,xn∈[a,b]x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n \in[a, b]x1,x2,x3,…,xn∈[a,b], 且 a1+a2+a3+…+an=1a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=1a1+a2+a3+…+an=1, a1,a2,a3…ana_1, a_2, a_3 \ldots a_na1,a2,a3…an 为正数, 有
f(a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn)f\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\ldots+a_n x_n\right) \leq a_1 f\left(x_1\right)+a_2 f\left(x_2\right)+\ldots+a_n f\left(x_n\right) f(a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn)
当且仅当 x1=x2=x3=…=xnx_1=x_2=x_3=\ldots=x_nx1=x2=x3=…=xn 时等号成立.

闵可夫斯基(Minkowski)不等式

基本形式

若 ai≥0,bi≥0(i=1,2,…,n)a_i \geq 0, b_i \geq 0(i=1,2, \ldots, n)ai≥0,bi≥0(i=1,2,…,n), 则对于 ∀r≠0,1\forall r \neq 0,1∀r=0,1, 则当 r>1r>1r>1 时, 有
[∑i=1n(ai+bi)r]1r≤∑i=1n(air)1r+∑i=1n(bir)1r\left[\sum_{i=1}^n\left(a_i+b i\right)^r\right]^{\frac{1}{r}} \leq \sum_{i=1}^n\left(a_i^r\right)^{\frac{1}{r}}+\sum_{i=1}^n\left(b_i^r\right)^{\frac{1}{r}} [i=1∑n(ai+bi)r]r1≤i=1∑n(air)r1+i=1∑n(bir)r1
当 r<1r<1r<1 时, 有
[∑i=1n(ai+bi)r]1r≥[∑i=1n(air)]1r+[∑i=1n(bir)]1r\left[\sum_{i=1}^n\left(a_i+b i\right)^r\right]^{\frac{1}{r}} \geq\left[\sum_{i=1}^n\left(a_i^r\right)\right]^{\frac{1}{r}}+\left[\sum_{i=1}^n\left(b_i^r\right)\right]^{\frac{1}{r}} [i=1∑n(ai+bi)r]r1≥[i=1∑n(air)]r1+[i=1∑n(bir)]r1
其中等号成立当且仅当 ai,bia_i, b_iai,bi 成比例.

积分形式

设 f(x)≥0,g(x)≥0f(x) \geq 0, g(x) \geq 0f(x)≥0,g(x)≥0, 在 [a,b][a, b][a,b] 上有定义, 使下述积分有意义, 则当 r>1r>1r>1 时, 有
[∫ab(f(x)+g(x))r]dx1r≤[∫ab(f(x))rdx]1r+[∫ab(g(x))rdx]1r,\left[\int_a^b(f(x)+g(x))^r\right] d x^{\frac{1}{r}} \leq\left[\int_a^b(f(x))^r d x\right]^{\frac{1}{r}}+\left[\int_a^b(g(x))^r d x\right]^{\frac{1}{r}}, [∫ab(f(x)+g(x))r]dxr1≤[∫ab(f(x))rdx]r1+[∫ab(g(x))rdx]r1,
当 r<1r<1r<1 时, 有
[∫ab(f(x)+g(x))r]1r≥[∫ab(f(x))r]1r+[∫ab(g(x))r]1r.\left[\int_a^b(f(x)+g(x))^r\right]^{\frac{1}{r}} \geq\left[\int_a^b(f(x))^r\right]^{\frac{1}{r}}+\left[\int_a^b(g(x))^r\right]^{\frac{1}{r}} . [∫ab(f(x)+g(x))r]r1≥[∫ab(f(x))r]r1+[∫ab(g(x))r]r1.

贝塞尔(Bessel)不等式

设 H\mathcal{H}H 是一个装备了内积: ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot, \cdot\rangle⟨⋅,⋅⟩ 的希尔伯特空间.考虑一组规范正交向量的序列： (e1,e2,⋯,en,⋯)\left(e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots\right)(e1,e2,⋯,en,⋯) .那么，对于任意一个 H\mathcal{H}H 中的元素，都有:
∑k∣⟨x,ek⟩∣2≤∥x∥2\sum_k\left|\left\langle x, e_k\right\rangle\right|^2 \leq\|x\|^2 k∑∣⟨x,ek⟩∣2≤∥x∥2
其中的系数 ⟨x,ek⟩\left\langle x, e_k\right\rangle⟨x,ek⟩ 是 xxx 在一个正交向量序列中元素 eke_kek 上的投影的长度.

庞加莱(Poincaré)不等式

设 Ω⊂Rn\Omega \subset R^nΩ⊂Rn 含于一个宽度为 h\mathrm{h}h 的条形区域内, μ∈W1,p0(Ω)\mu \in W^1, p_0(\Omega)μ∈W1,p0(Ω) ，则下列庞加莱不等式成立:
∫Ω∣μ∣pdx≤hp∫Ω∣Dμ∣pdx\int_{\Omega}|\mu|^p d x \leq h^p \int_{\Omega}|D \mu|^p d x ∫Ω∣μ∣pdx≤hp∫Ω∣Dμ∣pdx
而不等式:
∫Ωμ2dx≤K∫Ω∣Dμ∣2dx+1∣Ω∣(∫Ωμdx)2\int_{\Omega} \mu^2 d x \leq K \int_{\Omega}\left|D_\mu\right|^2 d x+\frac{1}{|\Omega|}\left(\int_{\Omega} \mu d x\right)^2 ∫Ωμ2dx≤K∫Ω∣Dμ∣2dx+∣Ω∣1(∫Ωμdx)2
亦称为㡾加莱不等式.若集合 N={x∈Ω∣u(x)=0}\mathrm{N}=\{\mathrm{x} \in \Omega \mid \mathrm{u}(\mathrm{x})=0\}N={x∈Ω∣u(x)=0} 的 Rn−1R^{n-1}Rn−1 中的测度 ∣N∣>0\mid\mathrm{N}\mid>0∣N∣>0, 则：
∫Ωμ2dx≤K∫Ω∣Dμ∣2dx\int_{\Omega} \mu^2 d x \leq K \int_{\Omega}|D \mu|^2 d x ∫Ωμ2dx≤K∫Ω∣Dμ∣2dx

哈代(Hardy)不等式

设 p>1p>1p>1, a是非负向量. 那么当 a∈lpa \in l_pa∈lp 时, σ∈lp\boldsymbol{\sigma} \in l_pσ∈lp 且成立着
∥σ∥p⩽pp−1∥a∥p\|\boldsymbol{\sigma}\|_p \leqslant \frac{p}{p-1}\|\boldsymbol{a}\|_p ∥σ∥p⩽p−1p∥a∥p
或
∑n=1∞σnp≤(pp−1)p∑n=1∞anp\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^p \leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \sum_{n=1}^{\infty} a_n^p n=1∑∞σnp≤(p−1p)pn=1∑∞anp
其中等号仅当所有 an=0a_n=0an=0 时成立.

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作者邮箱: turingscat@126.com

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12个偏微分方程常用的不等式

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