有限自动机字符串匹配

引言：

本文参考自《算法导论》中 “32.3 利用有限自动机进行字符串匹配” ，其目的不仅仅是为了改善常规算法的时间复杂度问题，更是为了给在解决类似情况提供一个有限自动机方案的参考。

很多字符串匹配算法都要建立一个有限自动机，它是一个处理信息的简单机器，通过对文本字符串 T 进行扫描，找出模式 P 的所有出现位置。这些字符串匹配的自动机都非常有效：它们只对每个文本字符检查一次，并且检查每个文本字符时所需的时间为常数。因此，在模式预处理完成并建立好自动机后进行匹配所需要的时间为 O(n) 。

1、朴素字符串匹配算法：

朴素字符串匹配算法时通过一个循环找到所有有效偏移，
该循环对 n-m+1 个可能的 s 进行检测，看是否满足条件 P[1…m] = T[s+1…s+m]。

朴素字符串匹配算法伪代码：

NAIVE-STRING-MATCHER(T,P)n=T.lengthm=P.lengthfor s = 0 to n-mif p[1...m] == T[s+1,s+m]print "Pattern occurs with shift" s

最坏的情况下，朴素字符串匹配算法运行时间为 O((n-m+1)m)。

2、有限自动机：

一个有限自动机 M 是一个 5 元组（Q，q， A， ∑，δ）

Q 是状态的有限集合
q∈Q 是一个初始状态
A 包含于 Q 是一个特殊的接受状态集合
∑ 是有限输入字母表
δ 是一个从 Q✖∑ 到 Q 的函数，称为 M 的转移函数

下图为有限自动机的状态转移图，模式串为 ababaca 。

转移函数算法伪代码：

其中， Pk ⊇ Pqa 表示 Pk是 Pqa的后缀。

COMPUTE-TRANSITION-FUNCTION(P,∑)m = P.lengthfor q = 0 to mfor each charater a∈∑k = min(m+1,q+2)repeatk = k - 1until Pk ⊇ Pqaδ(q,a) = kreturn δ

有限自动机算法伪代码：

FINITE-AUTOMATON-MATCHER(T,δ,m)n = T.lengthq = 0for i = 1 to nq = δ(q,t[i])if q == mprint "Pattern occurs with shift" i-m

3、详细代码：

转载自 https://blog.csdn.net/giftedpanda/article/details/86774815 。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<vector>using namespace std;bool Matching_Prefix_Suffix(char* P,int k,int q,char c)
{                               //P为模式串 K为要验证的前缀和后缀的字符串长度if(k==0)                    //q为当前自动机主线长度return true;              //k=0 空字符串 前缀和后缀肯定相等if(k==1){                //只有一个字符串 证明自动机刚好开始创建return P[0]==c;      //如果模式串的第一个和其中的c相等 前缀等于后缀}return P[k-1]==c&& (!strncmp(P,P+q-k+1,k-1));    //检验P[0...k-1]==P[q-k+1...q]
}vector<map<char,int> > Compute_Transition_Function( char *P,const char* input_character)
{                                //计算转移函数的值int m=strlen(P);                //模式串的长度int j=0,k;printf("The main length of Finite_Automaton_Matcher is %d\n",m);vector<map<char,int> >transition_map(m+1);         //创建一个vector 一共有m+1个数据for(int i=0;i<m;i++){                   //对于模式串的长度j=0;while(input_character[j]!='\0'){      //对于输入串的每一种可能字符k= min(m+1,i+2);               //因为对于长度为i的字符串 它的转移函数最大值为ido{                          //数组下标从0开始 再加上后面k一来就减1  所以为i+2k=k-1;                  //找到一个最大值k使得模式串的P[0...k]==P[...n-1]}while(!Matching_Prefix_Suffix(P,k,i,input_character[j]));transition_map[i][input_character[j]]=k;j++;}}return  transition_map;           //返回一个vector 每一个元素为 map<char,int>
}                                     //char 为自动机中的字符 int 为转移函数值void Finite_Automaton_Matcher(char* T,char* P,vector<map<char,int> >transition_map)
{int n=strlen(T);                           //文本串长度int m=strlen(P);                           //模式串长度int q=0;                                   //转移函数的值for(int i=0;i<n;i++){                    //对于文本串中的每一个字符q = transition_map[q][T[i]];             //迭代 前一个字符的转移函数值if(q==m)                                //转移函数的值等于模式串的长度printf("Pattern occurs with shift %d\n",i+1-m);   //模式串的有效位移为i-m+1}
}int main()
{const char* input_character="abc";        //输入字母表char T[]="abababacaba";                  //文本串char P[]="ababaca";                      //模式串vector<map<char,int> >transition_map=Compute_Transition_Function(P,input_character);Finite_Automaton_Matcher(T,P,transition_map);return 0;
}

此外，有关字符串匹配的 KMP 算法，请参见：

https://blog.csdn.net/qq_30534935/article/details/100713917 。