2021年度训练联盟热身训练赛第四场 H - Rock Paper Scissors（字符串匹配，FFT）

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2021年度训练联盟热身训练赛第四场 H - Rock Paper Scissors（字符串匹配，FFT）

Weblink

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/13506/H

Problem

你和电脑玩剪刀石头布，给定一个电脑的出拳序列 sss 以及你的一个出拳序列 ttt ，你可以任意在电脑的出拳序列 sss 里选择一个位置开始比赛直到序列结束，问你最多能赢多少场。

12 4
RSPPSSSRRPPR
RRRR

Solution

SB题直接秒了

显然先转换为字符串匹配，即将字符串里， RRR 赢 SSS ，问我们能赢多少场，所以把电脑的出拳序列里所有的 SSS 换成 RRR ，P,SP,SP,S 同理，这样问题就可以转换为一个简单的字符串匹配了，然后考虑如何匹配，显然我们可以把三个分开来一个一个匹配这样匹配三次求和就行了，即每次匹配一个字母 ch ，这样简单易处理，两个字符串这一位都等于 ch 就将他置为 1，否则就置为 0。直接字符串匹配怕是失了智，这波啊，这波是模糊匹配啊，先玩一玩嘛

我们发现每次匹配（这里先匹配 S）：

0123456
RRSPRRSSPSRS0123⬇
0123456
00100011010101234

是 2 和 0 匹配，6 和 4 匹配，好像没什么意思，但是如果我们把 ttt 翻转一下，就会变成 2 和 4 匹配，6 和 0 匹配，2+4=6+0=62+4=6+0 =62+4=6+0=6，欸，这不就是卷积嘛？！！

我们知道序列的卷积为：

C(x)=A(x)∗B(x)=∑k=0n+m−2(∑k=i+jaibj)xkC(x)=A(x)* B(x)=\sum_{k=0}^{n+m-2}(\sum_{k=i+j}a_ib_j)x^k C(x)=A(x)∗B(x)=k=0∑n+m−2(k=i+j∑aibj)xk

也就是说我们只需要将 ttt 串翻转，然后直接卷，这样我们每次相当于匹配：s0,tm−1,s1,tm−2⋯s_0,t_m-1,s_1,t_{m-2}\cdotss0,tm−1,s1,tm−2⋯，答案就是 x0+m−1=xm−1x^{0+m-1}=x^{m-1}x0+m−1=xm−1 的系数，以此类推，实际的含义就是 s0s_0s0 与 tm−1t_{m-1}tm−1 匹配，其中 tm−1t_{m-1}tm−1就是翻转后的 t0t_0t0，也就是实际上还是按照规则 s0s_0s0 与 t0t_0t0 匹配，s1s_1s1 与 t1t_1t1 匹配，翻转后只是序号变了，并不影响实际的匹配情况和最后的匹配答案，如果匹配成功，即 1×1=11\times 1=11×1=1，也就是贡献给 xmx^mxm 的系数+1，也就是匹配段为 0∼m−10\sim m-10∼m−1 的答案+1 匹配失败显然就是 1×0=0or 0×0=01\times 0=0 \ \text{or}\ 0\times 0=01×0=0 or 0×0=0。最后最优的答案显然就是三次卷积得到的答案序列：i→m−1∼n+m−2i\to m-1\sim n+m-2i→m−1∼n+m−2 中三个序列相应位置 iii 的权值之和，取最值即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 7, mod = 1e9 + 7;
const double PI = acos(-1.0);
int n, m;
int L, limit = 1;
int RR[N], ans[N];struct Complex
{double x, y;Complex(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) { }
}sr[N], sp[N], ss[N], tr[N], tp[N], ts[N], ansr[N], ansp[N], anss[N];Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);}void FFT(Complex * A, int type)
{for(int i = 0; i < limit; ++ i) {if(i < RR[i])swap(A[i], A[RR[i]]);}for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {Complex wn(cos(PI / mid), type * sin(PI / mid));for(int len = mid << 1, pos = 0; pos < limit; pos += len) {Complex w(1, 0);for(int k = 0; k < mid; ++ k, w = w * wn) {Complex x = A[pos + k];Complex y = w * A[pos + mid + k];A[pos + k] = x + y;A[pos + mid + k] = x - y;}}}if(type == -1) {for(int i = 0; i < limit; ++ i) {A[i].x /= limit;}}
}string s, t;int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);cin >> s >> t;for(int i = 0; i < n; ++ i) {if(s[i] == 'R') s[i] = 'P';else if(s[i] == 'P') s[i] = 'S';else if(s[i] == 'S') s[i] = 'R';}reverse(t.begin(), t.end());limit = 1, L = 0;while(limit <= n + m) L ++ , limit <<= 1;for(int i = 0; i < limit; ++ i) {RR[i] = (RR[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));}for(int i = 0; i < n; ++ i)if(s[i] == 'R')  sr[i].x = 1.0;else sr[i].x = 0.0;for(int i = 0; i < m;  ++ i)if(t[i] == 'R')  tr[i].x = 1.0;else tr[i].x = 0.0;FFT(sr, 1);FFT(tr, 1);for(int i = 0; i <= limit; ++ i) {ansr[i] = sr[i] * tr[i];}FFT(ansr, -1);for(int i = 0; i < n; ++ i)if(s[i] == 'P')  sp[i].x = 1.0;else sp[i].x = 0.0;for(int i = 0; i < m; ++ i)if(t[i] == 'P')  tp[i].x = 1.0;else tp[i].x = 0.0;FFT(sp, 1);FFT(tp, 1);for(int i = 0; i <= limit; ++ i) {ansp[i] = sp[i] * tp[i];}FFT(ansp, -1);for(int i = 0; i < n; ++ i)if(s[i] == 'S')  ss[i].x = 1.0;else ss[i].x = 0.0;for(int i = 0; i < m; ++ i)if(t[i] == 'S')  ts[i].x = 1.0;else ts[i].x = 0.0;FFT(ss, 1);FFT(ts, 1);for(int i = 0; i <= limit; ++ i) {anss[i] = ss[i] * ts[i];}FFT(anss, -1);int maxx = -1;for(int i = m - 1; i < n + m - 1; ++ i) {maxx = max(maxx, (int)(ansr[i].x + 0.5) + (int)(ansp[i].x + 0.5) + (int)(anss[i].x + 0.5));}printf("%d\n", maxx);return 0;
}

百度一搜发现原来FFT本来就可以求字符串匹配呀，那没事了，是我的问题，我太菜了，写的FFT题太少了…

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