动态规划求解金矿问题

题目： 很久很久以前，有一位国王拥有5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人人数也不同。金矿储量与所需工人数量如下表所示：
如果参与挖矿的工人的总人数是10，每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半的金矿。要求用程序求出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

编号	黄金储量	所需人数
1	400kg	5
2	500kg	5
3	200kg	3
4	300kg	4
5	350kg	3

解决思路：
对于每一个金矿都有挖与不挖两种选择，因此可以利用动态规划的思想将总问题逐步分解成若干个子问题，然后得到最优解，具体步骤如下：

1、寻找状态转移方程式；
状态转移方程式：设金矿数量为n，工人数量为w，金矿的含金量为数组g[]，金矿所需开采人数设为数组p[]，设F(n,w)为n个金矿、w个工人时的最优收益函数，则状态状态转移方程式为：

问题边界，金矿数为0或工人数为0的情况：F(n,w)=0(n=0或=0)；
当所剩工人不够挖掘当前金矿时，只有一种最优子结构：F(n,w)=F(n-1,w),(n>=1,w<p[n-1])；
常规情况下的两种最优子结构（即挖当前金矿与不挖当前金矿）：F(n,w)=max(F(n-1,w),F(n-1,w-p[n-1]+g[n-1])),(n>=1,w>=p[n-1])。

2、利用状态转移方程式自底向上求解问题；

每一层的求解结果都可以由下层（底层）推导得到，因此可以使用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，即而得到最优解，具体看代码实现2

代码实现：
实现1：

最简单的实现方式就是使用递归实现，但是其时间复杂度是O(2^n)

 /*** 获得金矿最优权益* @param w 工人数量* @param n 可选金矿数量* @param p 金矿开采所需的工人数量* @param g 金矿储量* @return  最优收益*/public static int getBestGoldMining(int w,int n,int[] p,int[] g){if(w==0||n==0){return 0;}if (w<p[n-1]){return getBestGoldMining(w,n-1,p,g);}return Math.max(getBestGoldMining(w,n-1,p,g),getBestGoldMining(w-p[n-1],n-1,p,g)+g[n-1]);}

实现2：

 /*** 获得金矿最优权益* @param w 工人数量* @param p 金矿开采所需的工人数量* @param g 金矿储量* @return  最优收益*/public static int getBestGoldMining(int w,int[] p,int[] g){//创建表格int[][] resultTable=new int[g.length+1][w+1];//填充表格for (int i = 1; i <=g.length; i++) {for (int j = 1; j <=w; j++) {if (j<p[i-1]){resultTable[i][j]=resultTable[i-1][j];}else {resultTable[i][j]=Math.max(resultTable[i-1][j],resultTable[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);}}}//返回最后一个格子的值return resultTable[g.length][w];}

实现3： 对于实现2还可以进行空间上的优化，因为二维数组的每一行的结果都可以由上一行推导得出，因此我们不需要保存整张表格，只保存一行即可，在计算下一行时，进行覆盖替换即可。

 /*** 获得金矿最优权益* @param w 工人数量* @param p 金矿开采所需的工人数量* @param g 金矿储量* @return  最优收益*/public static int getBestGoldMiningV3(int w,int[] p,int[] g){//创建当前结果int[] results=new int[w+1];//填充一维数组for (int i = 1; i <g.length; i++) {for (int j=w;j>=1;j--){if (j>=p[i-1]){results[j]=Math.max(results[j],results[j-p[i-1]]+g[i-1]);}}}//返回最后一个格子的值return results[w];}

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