追寻宇宙的形状--庞加莱猜想

克雷数学研究所在2000年5月24日公布了七大数学难题，被称为千禧数学问题，并且给出悬赏，这些问题每解决一个都可以获得一百万美金的奖金。所有问题都悬而未决，除了庞加莱猜想，本文就来介绍下庞加莱猜想讲的是什么。

1 地球真的是圆的吗？

历史上很长的时间，人们都觉得地球是平的：

中世纪的欧洲人普遍相信欧洲最西南端的葡萄牙的罗卡角就是大陆的尽头，此处有一块石碑上面刻着诗人卡蒙斯（Camões）的名句，“陆止于此，海始于斯”：

1519年，麦哲伦带领5支船、约270人组成的远航队伍，从欧洲的西南部出发，一路向西航行。这条航路没有人走过，充满未知，一路上困难重重，麦哲伦本人都死在了菲律宾。最终3年后只有一艘船回到了葡萄牙：

转了一圈回来是不是说明地球就是圆的了？不一定，如果是“甜甜圈”形状，麦哲伦也可能转一圈回到原地：

直到最后我们跳出地球，才能完全确定地球真的不是“甜甜圈”（下图是月亮上看到的地球）：

2 宇宙的形状

面对地球我们还有能力跳出去俯瞰，但浩瀚的宇宙目前看来跳出无望，该怎么确定它的形状呢？

让我们来做一个思想实验，给一颗子弹尾部捆上足够长的绳子，并且把这颗子弹射向太空，假设这颗子弹环绕宇宙一圈后回到了地球：

这条绳子就被弹头带着围绕宇宙转了一圈，构成了一个绳圈，然后用手拉着绳圈的两头使劲往回扯：

假想我们跳到宇宙的外面，会看到如果宇宙是球形的，那么这个绳圈最终会收回地球：

而如果宇宙是“甜甜圈”形状的，这个绳圈会被中间的孔洞挡住，最终无法收回地球：

这个思想实验告诉我们：如果宇宙是球形的，那么绳圈一定可以收回地球。而庞加莱猜想是反过来说的：

$如果绳圈可以收回地球，则宇宙一定是球形的$

当然这个猜想还有更专业的、更高大上的版本：

任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

----庞加莱猜想

3 拓扑

儒勒·昂利·庞加莱（1854－1912）：

在1904年的名为《对位相分析学的第5次补充》论文中提出了庞加莱猜想。所谓的位相分析学后来发展为数学重要的分支“拓扑学”。庞加莱猜想最重大的意义就是随着它的诞生、以及深入地研究，加深了人们对形状的理解，促使“拓扑学”诞生和完善。

拓扑学是关于形状（术语是流形）的数学分支。在拓扑学之前，我们对于形状是这么理解的：

不过在刚才在描述宇宙是“球形”的时候，实际上图像并不是标准的“球形”。在庞加莱猜想中，或者说“拓扑”这个数学分支中，并不关心传统意义上的、精确的形状，它会认为任何三维中有一个“洞”的形状都等同于“甜甜圈”（比如下面的茶杯），任何三维中没有“洞"的就等同于“球形”（比如下面的橡皮奶牛）：

据说庞加莱连圆形和三角都分不清楚，所以才导致了拓扑学的研究。如果真是这样，只能说他是拓扑学的天选之子。

不管拓扑看起来多么古怪，在庞加莱猜想的研究中却恰如其分。在这里，我们剔除掉传统形状的长度、角度、圆心、周长、面积这些概念，只关心有一个孔还是没有孔，这点唯一决定了绳圈是否可以收回。

4 帕帕

在庞加莱猜想提出到解决的100多年时间里，太多的勇士前仆后继，想要获得这至高的荣誉。在我印象中最令人唏嘘的就是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯（1914－1976）：

他的名字实在太长，所以通常简称为帕帕。当时身为普林斯顿大学的研究员，帕帕每天早上8点出现在餐厅吃早餐，8点半准时开始研究工作，11点半吃午餐，12点半返回继续工作，然后15点进入公共休息室喝下午茶，16点又返回办公室，精准到完全可以根据他的作息来校对手表。

他几乎把所有的时间都贡献给了数学，为了证明庞加莱猜想，其他的所有一切都抛之脑后。普林斯顿大学曾邀请帕帕出任教授一职，并且破格给出了只需要帕帕每周承担三个小时的教学工作（你要知道有多少人想得到教授职位）。他的回答是，自己只想作为研究员专心于庞加莱猜想的证明工作。

同时代的沃夫冈·哈肯宣布自己证明了庞加莱定理，最后在提交论文之前哈肯自己发现了致命错误。这次失败让哈肯博士陷入了暴食症，后来他评判自己当时患上了“庞加莱猜想综合症”。真正治愈他的是没多久后，他转向研究“四色问题”，并且最终证明出来。看来治疗“庞加莱猜想综合症”需要另外一个难题，数学家始终难以摆脱“挑战难题”这种病。

另外一个“庞加莱猜想综合症”患者帕帕在沃夫冈·哈肯宣布自己证明出庞加莱猜想的这段时间里，生命仿佛被抽空，这对于本来抑郁的他更是雪上加霜。不过上帝对于他还是仁慈的，只是虚惊一场。

这位赌上全部人生想要证明“庞加莱猜想”的男人后来患上了胃癌，撒手人寰。希腊有部畅销小说《Uncle Petros and Goldbach's conjecture》，其中的天才数学家彼得罗斯就是以帕帕为原型创作的。彼得罗斯在书中也有一个奉献终身的数学难题，作者给他安排了一个浪漫的结局：走火入魔的彼得罗斯最后在解开难题的幻象中离开了人世。

5 斯蒂芬·斯梅尔

美国数学家史蒂文·斯梅尔（1930－）：

做出了重大突破（据他自己说，是在巴西海滩上度假时想到的），他证明了在五维及以上空间中庞加莱猜想成立。

可能你会觉得奇怪，为什么五维及以上还更容易证明一些？三维的庞加莱猜想有一个难点，通俗点说是这样的：收回绳圈的过程中，绳子会打结，数学家就是在处理这些“结”的时候进行不下去。而在五维及以上空间中，这些“结”反而不存在。

其实不难理解，可以看看过山车，很显然三维中的过山车是不可能打结的，但是它在地面的阴影却是交叉打结的：

事实也是如此，史蒂文·斯梅尔只用了三页纸就证明了五维及以上空间中的庞加莱猜想。不过斯梅尔教授证明出了高维的庞加莱猜想后并没有继续纠缠，一如既往的随心生活着。

6 几何化猜想

另外一位美国数学家威廉·瑟斯顿（1946－2012）：

他另辟蹊径，给出一个“几何化猜想”。这个猜想说的是，宇宙的形状不论有多古怪，一定由以下八种基本拓扑形状构成：

接着他证明了，这八种基本拓扑图形除了“球形”之外，别的形状都会阻止绳圈的收回：

那么如果证明了“几何化猜想”，“庞加莱猜想”就是直接的推论。实际上“几何化猜想”是更基础、更宏大的数学猜想。瑟斯顿教授作为当时最有希望证明出“几何化猜想”的人，却放弃了继续证明转向了数学教育工作。他给出的理由是，要是证明出来了，年轻人就没有奋斗的动力了。

7 佩雷尔曼

2002年的秋天，一些数学家收到一封电子邮件，大致内容是说电子邮件的发送人在论文网站arXiv.org张贴了一篇编号为math.DG/0211159的论文，论文是关于“几何化猜想”的证明（也就相当于证明了庞加莱猜想）。

每年有不少研究者会冒出来说自己证明了庞加莱猜想，数学家的反映一般是（懒得去验证，这种证明很难出现民间高手）：

但是这次不一样，很多这个方向的研究者看到这位发邮件者的名字有点慌神了，因为他是格里戈里·佩雷尔曼（1966－）：

这是一位真正的高手，年少成名，1982年16岁的他就代表前苏联参加了国际数学奥林匹克竞赛，以满分的成绩获得金奖。据当时带队的老师回忆，佩雷尔曼解题速度非常快，并且别人需要好几页才能解出来的，他只需要几行。在奥林匹克这样的高水平的、激烈的赛事中，这就意味着横溢的才华。

在这些竞赛中，似乎佩雷尔曼从未遇到过难题，所以可能那时候他就立下梦想：总有一天，要解出谁人都无法解答的问题。1994年他证明了超级难题“灵魂猜想”，仅用了三页纸就解决了这个过去22年间让无数人铩羽而归的问题。

数学家知道佩雷尔曼的分量，不得不仔细掂量这篇论文，可是很尴尬地发现看不懂，也挑不出错误，于是邀请本人到美国召开特别讲座。

论文发表的第二年，也就是2003年4月，佩雷尔曼在纽约举行了讲座。大家惊异地发现证明过程不是通过拓扑学进行的，而是用老旧的微分几何（也就是我们熟悉的包含长度、坐标、角度等要素的几何）、物理中的热力学等来证明的，这对于拓扑学家是相当大的打击：

在座的许多数学家都把自己的精力倾注在庞加莱猜想上，当看到证明已近完成的时候，他们会很沮丧；而当他们了解到这种证明中没有使用拓扑学的时候，沮丧更上一层；到最后他们发现自己竟然理解不了这个证明，这让他们更加万分沮丧。

----参加讲座的约翰·摩根博士

两年后，三个数学小组终于可以确定这篇论文是正确的。2006年，四年一度的数学最高奖项菲尔兹奖决定颁发给佩雷尔曼，克雷数学研究所也拿出了一百万美金。但是佩雷尔曼拒绝了菲尔兹奖，也拒绝了一百万美金，就仿佛从来没有出现过一样，消失在了公众面前。

佩雷尔曼生活并不宽裕，基本上属于在面包店看到“买一送一”才会购买的那种经济状况。就是这样的他拒绝了这至高的荣誉和一百万美金，在常人看来非常难以理解，更为庞加莱猜想的证明平添了传奇色彩。

找到佩雷尔曼的行踪本身就是一个难题，在俄罗斯，“寻找佩雷尔曼”成了一句俗语，表示行踪飘渺的意思。所以媒体从来没有机会采访到他，因为没有在公众面前发声，所以他为什么这么做也成了谜题。

8 宇宙的形状

庞加莱猜想虽然证明了，但没有那个绳圈我们还是不知道宇宙的形状。

根据最新的观测，科学家们相信宇宙是一个平面，可是谁知道呢？几百年以前，我们不是以为地球也是平的吗？

本文全部内容基本上来自于日本NH在2008年拍摄的纪录片：庞加莱猜想的魔咒。

本文的最新版本在：追寻宇宙的形状----庞加莱猜想

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