逻辑学学习.14 --- 谓词逻辑（六）：数量量词和摹状词

前面讨论了全称量词”所有“和存在量词”有些“，但这两种量词只是定性的，不是定量的。在讨论摹状词之前先要搞清楚数量量词的表达，因为，”恰好有一个个体是 F“ 的公式在摹状词中要用到。

一。至少有若干个个体

至少有一个个体： ∃x1∃x_{1}∃x1（x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）
至少有一个个体是 F： ∃x1∃x_{1}∃x1 F（x1x_{1}x1）

至少有两个个体： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2）
至少有两个个体是 F： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2）∧x1x_{2}）∧ x_{1}x2）∧x1 ≠ x2x_{2}x2）

至少有三个个体： ∃x1∃x2∃x3∃x_{1}∃x_{2}∃x_{3}∃x1∃x2∃x3（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ x1x_{1}x1 ≠ x3x_{3}x3 ∧ x2x_{2}x2 ≠ x3x_{3}x3）
至少有三个个体是 F： ∃x1∃x2∃x3∃x_{1}∃x_{2}∃x_{3}∃x1∃x2∃x3（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ F（x3x_{3}x3）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ x1x_{1}x1 ≠ x3x_{3}x3 ∧ x2x_{2}x2 ≠ x3x_{3}x3）

至少有n个个体： ∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn）
至少有n个个体是 F： ∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ … F（xnx_{n}xn）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn）

二。至多有若干个个体

至多有一个个体： ∀x1∀x2∀x_{1}∀x_{2}∀x1∀x2（x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）
至多有一个个体是 F： ∀x1∀x2∀x_{1}∀x_{2}∀x1∀x2（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）→ x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）

至多有两个个体： ∀x1∀x2∀x3∀x_{1}∀x_{2}∀x_{3}∀x1∀x2∀x3（x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨ x1x_{1}x1 = x3x_{3}x3 ∨ x2x_{2}x2 = x3x_{3}x3）
至多有两个个体是 F： ∀x1∀x2∀x3∀x_{1}∀x_{2}∀x_{3}∀x1∀x2∀x3（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ F（x3x_{3}x3）→ x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨ x1x_{1}x1 = x3x_{3}x3 ∨ x2x_{2}x2 = x3x_{3}x3）

至多有n个个体： ∀x1∀x2...∀xn∀xn+1∀x_{1}∀x_{2}...∀x_{n}∀x_{n+1}∀x1∀x2...∀xn∀xn+1（x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨… ∨ x1x_{1}x1 = xn+1x_{n+1}xn+1 ∨ …xnx_{n}xn = xn+1x_{n+1}xn+1）
至多有n个个体是F： ∀x1∀x2...∀xn∀xn+1∀x_{1}∀x_{2}...∀x_{n}∀x_{n+1}∀x1∀x2...∀xn∀xn+1（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ …∧ F（xn+1x_{n+1}xn+1）→ x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨… ∨ x1x_{1}x1 = xn+1x_{n+1}xn+1 ∨ …xnx_{n}xn = xn+1x_{n+1}xn+1）

三。恰好有若干个个体

我们用至少和至多的合取式来表示

恰好有一个个体： ∃x1∃x_{1}∃x1 （x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1） ∧ ∀x1∀x2∀x_{1}∀x_{2}∀x1∀x2（x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）
恰好有一个个体是 F： ∃x1∃x_{1}∃x1F（x1x_{1}x1）∧ ∀x1∀x2∀x_{1}∀x_{2}∀x1∀x2（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）→ x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）

恰好有两个个体： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2）∧ ∀x1∀x2∀x3∀x_{1}∀x_{2}∀x_{3}∀x1∀x2∀x3（x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨ x1x_{1}x1 = x3x_{3}x3 ∨ x2x_{2}x2 = x3x_{3}x3）
恰好有两个个体是F： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2）∧ ∀x1∀x2∀x3∀x_{1}∀x_{2}∀x_{3}∀x1∀x2∀x3（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ F（x3x_{3}x3） → x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨ x1x_{1}x1 = x3x_{3}x3 ∨ x2x_{2}x2 = x3x_{3}x3）

恰好有n个个体：
∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn）∧ ∀x1∀x2...∀xn∀xn+1∀x_{1}∀x_{2}...∀x_{n}∀x_{n+1}∀x1∀x2...∀xn∀xn+1（x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨… ∨ x1x_{1}x1 = xn+1x_{n+1}xn+1 ∨ …xnx_{n}xn = xn+1x_{n+1}xn+1）
恰好有n个个体是 F：
∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）… ∧ F（xnx_{n}xn）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn）∧ ∀x1∀x2...∀xn∀xn+1∀x_{1}∀x_{2}...∀x_{n}∀x_{n+1}∀x1∀x2...∀xn∀xn+1（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）… ∧ F（xn+1x_{n+1}xn+1）→ x1x_{1}x1 = x2x_{2}x2 ∨… ∨ x1x_{1}x1 = xn+1x_{n+1}xn+1 ∨ …xnx_{n}xn = xn+1x_{n+1}xn+1）

还可以用一种比较简单的表达式来表达，以后可以证明，这两种表达式是等值的。

恰好有一个个体： ∃x1∀x2∃x_{1}∀x_{2}∃x1∀x2（x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）
恰好有一个个体是 F： ∃x1∃x_{1}∃x1（F（x1x_{1}x1）∧ ∀x2∀x_{2}∀x2（F（x2x_{2}x2）→ x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1））

恰好有两个个体： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2）∧ ∀x3∀x_{3}∀x3（ x3x_{3}x3 = x1x_{1}x1 ∨ x3x_{3}x3 = x2x_{2}x2）
恰好有两个个体是 F： ∃x1∃x2∃x_{1}∃x_{2}∃x1∃x2（F（x1x_{1}x1）∧ F（x2x_{2}x2）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2）∧ ∀x3∀x_{3}∀x3（ F（x3x_{3}x3）→ x3x_{3}x3 = x1x_{1}x1 ∨ x3x_{3}x3 = x2x_{2}x2）

恰好有n个个体：
∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn ∧ ∀xn+1∀x_{n+1}∀xn+1（xn+1x_{n+1}xn+1 = x1x_{1}x1 ∨ xn+1x_{n+1}xn+1 = x2x_{2}x2 ∨ …xn+1x_{n+1}xn+1 = xnx_{n}xn））
恰好有n个个体是 F：
∃x1∃x2...∃xn∃x_{1}∃x_{2}...∃x_{n}∃x1∃x2...∃xn（F（x1x_{1}x1）∧ … ∧ F（xnx_{n}xn）∧ x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2 ∧ … ∧ x1x_{1}x1 ≠ xnx_{n}xn ∧ … xn−1x_{n-1}xn−1 ≠ xnx_{n}xn ∧ ∀xn+1∀x_{n+1}∀xn+1（F（xn+1x_{n+1}xn+1）→ xn+1x_{n+1}xn+1 = x1x_{1}x1 ∨ xn+1x_{n+1}xn+1 = x2x_{2}x2 ∨ …xn+1x_{n+1}xn+1 = xnx_{n}xn））

以上，”恰好有一个个体是 F“ 的公式在摹状词中要用到。

四。摹状词（description）

（一）。摹状词基本概念

摹状词就是描述词（description），主要讨论限定摹状词（definite description）。

在英语中，摹状词的结构是：
定冠词 the + 形容词 + 普通名词（单数）
如： the highest mountain
the …

汉语中没有定冠词（必要时用“这个”，“那个”来指代），名词也没有单复数，摹状词的结构是：
形容词 + 普通名词
（如："…的…" 是摹状词）

我们用希腊字母 ι\iotaι( iota，读做“约塔” 或者 “艾欧塔”) 来代替定冠词，从而把摹状词表示为：

ι\iotaιxp（x）
读做：那个唯一具有性质 p 的个体。

比如说：
当今的美国总统： ι\iotaιx P（x）。 P（x）表示x是当今的美国总统。
当今的法国国王： ι\iotaιx K（x）。 K（x）表示x是当今的法国国王。
中国汉朝的第一位皇帝： ι\iotaιx E（x）。 E（x）表示x是中国汉朝的第一位皇帝。

注意： ι\iotaιxp（x）表示的是一个个体，而不是一个命题。个体要放在命题里面，包含这个个体的命题，

形式如单称命题： q（ι\iotaιxp（x））

一个含有摹状词的命题 q（ι\iotaιxp（x））只有同时满足以下三个条件才能为真：
i) 至少有一个x是p ： ∃x1∃x_{1}∃x1 p（x1x_{1}x1）
ii) 至多有一个x是p ： ∀x1∀x2∀x_{1}∀x_{2}∀x1∀x2（p（x1x_{1}x1）∧ p（x2x_{2}x2）→ x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1）
iii) x是q：q（x）

前面两个条件合起来就是“恰好有一个个体有性质 p"，套用我们前面的公式：
恰好有一个个体是 F： ∃x1∃x_{1}∃x1（F（x1x_{1}x1）∧ ∀x2∀x_{2}∀x2（F（x2x_{2}x2）→ x1x_{1}x1 = x1x_{1}x1））

“恰好有一个个体 x有性质 p，并且x是q"：

公式（I） 含摹状词的命题 q（ι\iotaιxp（x））对应的符号化：
∃x∃x∃x（p（xxx）∧ ∀y∀y∀y（p（yyy）→ yyy = xxx）∧ q（x））
公式（I）就是命题 q（ι\iotaιxp（x））的定义。

其中，q代表任何谓词，不过”x存在“除外，”存在“是一个特殊的谓词，严格来说，它不是谓词，它是量词，一般用一个专门记号 ”E!“ 来表示。

E!（ι\iotaιxp（x））
读做：那个唯一具有性质p的个体x是存在的，相对于 q（ι\iotaιxp（x））
， E!（ι\iotaιxp（x））并没有增加新的内容，它比前者简单。它可以表达为：

公式（II） E!（ι\iotaιxp（x））对应的符号化：
∃x∃x∃x（p（xxx）∧ ∀y∀y∀y（p（yyy）→ yyy = xxx））
公式（II）就是存在 E!（ι\iotaιxp（x））的定义

对于任何含有摹状词的命题的处理，都可以归结为对 q（ι\iotaιxp（x））和 E!（ι\iotaιxp（x））的处理。公式（I）和（II）分别是这两种命题的定义。在（I）和（II）中，摹状词ι\iotaιxp（x）消失了，因此，（I）和（II）又叫做摹状词的销去规则。通过（I）和（II），我们可以将任何一个含有摹状词的命题置换为一个不含摹状词的命题，进而把含有摹状词的命题的真值条件展示出来进行推理。

（二）。摹状词应用举例

例1） 当今法国的国王是秃子。
分析：“当今法国的国王” 是摹状词，

谓词和摹状词：
谓词 K（x）表示：x是当今法国的国王
摹状词： ι\iotaιxK（x）表示：那个当今法国的国王
谓词 T（x）表示：x是秃子

例1）符号化为：
1-1） T（ι\iotaιxK（x））

套用前面的公式（I）∃x∃x∃x（p（xxx）∧ ∀y∀y∀y（p（yyy）→ yyy = xxx）∧ q（x））
1-1）置换为：
1-2） ∃x∃x∃x（K（xxx）∧ ∀y∀y∀y（K（yyy）→ yyy = xxx）∧ T（x））

消除了摹状词，我们可以判断 1-2）的真假：
由于当今法国没有国王，所以没有一个个体能满足 K（x），因而没有一个个体能满足∃x∃x∃x后面的开语句。故 1-2）为假。

例2） 黄河与长江之间的那座城市是存在的。
分析：“黄河与长江之间的那座城市” 是摹状词，

谓词和摹状词：
谓词 C（x）表示：x是黄河与长江之间的那座城市
摹状词： ι\iotaιxC（x）表示：那个黄河与长江之间的那座城市
”存在“不能用普通谓词来表示，要用 E!

例2）符号化为：
2-1） E!（ι\iotaιxC（x））

可以套用前面的公式（II）∃x∃x∃x（p（xxx）∧ ∀y∀y∀y（p（yyy）→ yyy = xxx））
2-1）置换为：
2-2） ∃x∃x∃x（C（xxx）∧ ∀y∀y∀y（C（yyy）→ yyy = xxx））

消除了摹状词，我们可以判断 2-2）的真假：
考虑 ∀y∀y∀y（C（yyy）→ yyy = xxx），由于黄河与长江之间有多个城市，y不一定等于x。所以∀y∀y∀y（C（yyy）→ yyy = xxx）就不成立，所以 2-2）的右边合取支是假的，所以 2-2）也是假的。

例3） 当今的美国总统见过中国汉朝的第一位皇帝。
分析：“当今的美国总统 ” 是摹状词，”中国汉朝的第一位皇帝“也是摹状词，

谓词和摹状词：
谓词 P（x）表示：x是当今美国总统
摹状词： ι\iotaιxP（x）表示：那个当今的美国总统
谓词 E（x）表示：x是中国汉朝的第一位皇帝
摹状词： ι\iotaιxE（x）表示：那个中国汉朝的第一位皇帝
谓词：J（x，y）表示：x见过y

例3）符号化为：
3-1） J（ι\iotaιxP（x），ι\iotaιxE（y））

根据公式（I） ∃x∃x∃x（p（xxx）∧ ∀y∀y∀y（p（yyy）→ yyy = xxx）∧ q（x））
3-1）可以分两步被置换成 3-2）
3-1）先置换第一个摹状词ι\iotaιxP（x），置换后为：
3-2） ∃x∃x∃x（P（xxx）∧ ∀z∀z∀z（P（zzz）→ zzz = xxx）∧ J（x，ι\iotaιyE（y）））
3-2）再置换第二个摹状词ι\iotaιyE（y），得
3-3） ∃x∃x∃x（P（xxx）∧ ∀z∀z∀z（P（zzz）→ zzz = xxx）∧ ∃y∃y∃y （E（yyy）∧ ∀w∀w∀w（P（www）→ www = yyy）） ∧ J（x， y）））

消除了摹状词，我们可以判断（3-3）的真假：
考虑J（x， y），根据定义，x指 ”当今美国总统“那个对象，y指”中国汉朝的第一位皇帝
“那个对象，这两个对象之间没有见过的关系，所以J（x，y）是假的，所以（3-3）的右边合取支是假的，所以（3-3）也是假的。

例4） 当今的中国皇帝不是胖子。
分析：“当今的中国皇帝” 是摹状词，

谓词和摹状词：
谓词 E（x）表示：x是当今中国的皇帝
摹状词： ι\iotaιxE（x）表示：那个当今中国的皇帝
谓词 F（x）表示：x是胖子

例4）符号化为：
4-1） ¬ F（ι\iotaιxK（x））

然而，4-1）是有歧义的，因为根据公式（I），4-1）可以置换成以下两种形式：
i）∃x∃x∃x（K（xxx）∧ ∀y∀y∀y（K（yyy）→ yyy = xxx）∧ ¬ F（x））
ii）¬ ∃x∃x∃x（K（xxx）∧ ∀y∀y∀y（K（yyy）→ yyy = xxx）∧ F（x））

由于当今中国没有皇帝，于是K（x）是假的，这使得 i）和 ii）中的量词∃x∃x∃x后面的开语句是假的，这就是使得 i）是真的， ii）是假的。可见， i）和 ii）不等值。

i）和 ii）之所以不等值，是因为符号 “ ¬ ” 在 i）和 ii）的辖域不同，在 i）中，“ ¬ ”的辖域仅仅是“ ¬ F（x）”，而在 ii）中，辖域是整个公式，然而，“ ¬ ”的辖域在 4-1）中并未反映出来，从而造成了 4-1）的歧义性。“ ¬ ”的辖域可以通过摹状词 ι\iotaιxK（x）的辖域来反映，为了表示摹状词在一个公式中的辖域，我们采用类似量词辖域的方法，即在其辖域的前边加上摹状词。这样例4）可以符号化为两种形式：

4-2） ι\iotaιxK（x）¬ F（ι\iotaιxK（x））
4-3） ¬ ι\iotaιxK（x） F（ι\iotaιxK（x））

在 4-2）中，摹状词 ”ι\iotaιxK（x）“ 的辖域是整个公式，就是说，4-2）中，摹状词是主逻辑词。而在4-3）中， “¬”的辖域是整个公式， “¬”才是主逻辑词。因此，4-2）销去摹状词后成为公式 i），4-3）销去摹状词后成为公式 ii）

摹状词的主现（primary occurrence）与次现（secondary occurrence）
摹状词以整个公式为辖域，即摹状词为整个公式的主逻辑词，叫做摹状词的主现（primary occurrence）。
摹状词的辖域只是公式的一部分，即摹状词不是整个公式的主逻辑词，叫做摹状词的次现（secondary occurrence）。

回到本例4），”当今的中国皇帝不是胖子 “，其中否定词”不“的辖域仅仅限于谓词”…是胖子“，而不是整个公式，因此，这个否定词 ” ¬ “不能作为整个公式的主逻辑词，本例的摹状词应该以主现的方式出现。因此本例的恰当符号化是 4-2）而不是 4-3），4-2）对应的置换形式是 i）而不是 ii），因而本例4）是一个假命题。

与4-3）相对应的自然语言命题是：5）”并非当今的中国皇帝是胖子 ”。对应的置换形式是 ii），这是一个真命题，其中的摹状词”当今中国的皇帝“是以次现的方式出现的。

参考资料

《自然演绎逻辑导论》陈晓平