微观经济学第五周作业（边际效用，无差异曲线）

3.

经济学		英语		数学
复习时间（天）	成绩	复习时间（天）	成绩	复习时间（天）	成绩
0	20	0	40	0	80
1	45	1	52	1	90
2	65	2	62	2	95
3	75	3	71	3	97
4	83	4	78	4	98
5	90	5	83	5	99
6	92	6	86	6	99

我们可以把分数看做效用，每增加一天复习时间，边际效用的增量就可以得出来

设三门科目的复习天数分别是x,y,z

则有 U = U ( x , y , z ) , 约束条件 x + y + z = 6 U=U(x,y,z),约束条件x+y+z=6 U=U(x,y,z),约束条件x+y+z=6成立

构造拉格朗日函数 L ( x , y , z , λ ) = U ( x , y , z ) + λ ( 6 − x − y − z ) L(x,y,z,\lambda)=U(x,y,z)+\lambda(6-x-y-z) L(x,y,z,λ)=U(x,y,z)+λ(6−x−y−z)

对 x , y , z , λ x,y,z,\lambda x,y,z,λ四个变量分别求偏导数并令偏导数值等于0，得到
∂ L ∂ x = ∂ U ∂ x − λ = 0 \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial x}-\lambda=0 ∂x∂L=∂x∂U−λ=0

∂ L ∂ y = ∂ U ∂ y − λ = 0 \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial y}-\lambda=0 ∂y∂L=∂y∂U−λ=0

∂ L ∂ z = ∂ U ∂ z − λ = 0 \frac{\partial L}{\partial z}=\frac{\partial U}{\partial z}-\lambda=0 ∂z∂L=∂z∂U−λ=0

所以 ∂ U ∂ x = ∂ U ∂ y = ∂ U ∂ z = λ 所以\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial z}=\lambda 所以∂x∂U=∂y∂U=∂z∂U=λ

此时x,y,z的边际效用都相等，总效用达到最大
对照每种科目的边际效用，实际上是不连续的点函数

（第n天的边际效用）	1	2	3	4	5	6
经济学（ ∂ U ∂ x \frac{\partial U}{\partial x} ∂x∂U)	25	20	10	8	7	2
英语（ ∂ U ∂ y \frac{\partial U}{\partial y} ∂y∂U)	12	10	9	7	5	3
数学（ ∂ U ∂ z \frac{\partial U}{\partial z} ∂z∂U)	10	5	2	1	1	0

恰好当 ∂ U ∂ x = ∂ U ∂ y = ∂ U ∂ z = λ = 10 \frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial z}=\lambda=10 ∂x∂U=∂y∂U=∂z∂U=λ=10时，总效用（也就是总成绩)可以达到最大值，此时经济学复习三天，英语复习两天，数学复习一天，恰好满足 x + y + z = 6 x+y+z=6 x+y+z=6的限制条件，所以最大效用（最高成绩）是75+62+90=227分。

4.

x,y两商品的无差异曲线每一点的斜率都等于-(y/x)

(1)证明：

由于效用函数与预算线相切时，交点处的效用最大化，此时需要满足的条件是
P x x + P y y = M P_xx + P_y y = M Pxx+Pyy=M

− y x = − p x p y -\frac{y}{x} = -\frac{p_x}{p_y} −xy=−pypx

所以联立可得 2 P x x = M , 即 x 的需求函数是 x = M 2 P x 2P_xx=M,即x的需求函数是x=\frac{M}{2P_x} 2Pxx=M,即x的需求函数是x=2PxM.显然x商品的需求独立于y商品的价格

x商品需求的价格弹性 E p = d x d P x P x x E_p=\frac{dx}{dP_x} \frac{P_x}{x} Ep=dPxdxxPx,由于 d x d P x = − M 2 P x 2 \frac{dx}{dP_x}=-\frac{M}{2P_x^2} dPxdx=−2Px2M,代入得到 E p = − 1 E_p=-1 Ep=−1成立，所以x商品的价格弹性等于1。

(2) P x = 1 元， P y = 2 元， M = 120 元 P_x=1元，P_y=2元，M=120元 Px=1元，Py=2元，M=120元，求边际替代率

当效用最大化时，边际替代率等于两种商品的价格之比，等于 P x / P y = 1 / 2 P_x/P_y=1/2 Px/Py=1/2

(3)恩格尔曲线的形状，对x商品需求的收入弹性是多少？

恩格尔曲线（收入—购买量曲线）如果以收入为x轴，购买量为y轴，那么就有斜率为 d x d M = 1 2 P x \frac{dx}{dM}=\frac{1}{2P_x} dMdx=2Px1。

所以恩格尔曲线是斜率为 d x d M = 1 2 P x \frac{dx}{dM}=\frac{1}{2P_x} dMdx=2Px1，过原点的一条直线。

x商品需求的收入弹性 E M = d x d M M x E_M=\frac{dx}{dM} \frac{M}{x} EM=dMdxxM,由于 d x d M = 1 2 P x \frac{dx}{dM}=\frac{1}{2P_x} dMdx=2Px1,代入得 E M = 1 E_M=1 EM=1,所以需求的收入弹性为1.

5.

效用函数为 U ( x , y ) = α ln ⁡ x + ( 1 − α ) ln ⁡ y U(x,y) = \alpha \ln x + (1-\alpha)\ln y U(x,y)=αlnx+(1−α)lny,

由于效用函数与预算线相切时，交点处的效用最大化，此时需要满足的条件是
P x x + P y y = M P_xx + P_y y = M Pxx+Pyy=M

α x / 1 − α y = p x p y \frac{\alpha}{x}/\frac{1-\alpha}{y} = \frac{p_x}{p_y} xα/y1−α=pypx

联立两个方程，消去 P x , P y P_x,P_y Px,Py,可得对x,y两商品的需求分别是 α M P x , ( 1 − α ) M P y \frac{\alpha M}{P_x},\frac{(1-\alpha)M}{P_y} PxαM,Py(1−α)M.

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