初等数论--同余--MILLER-RABIN素性检测算法优化

Euler theorem、Fermat's little theorem
Primality Test: Fermat、MILLER-RABIN、IMPROVED
代码验证

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

这一章不同于前几章，是我自己总结的素性检测算法规律以及探索一些可优化的地方。

Euler theorem、Fermat’s little theorem

具体的定理内容以及证明，我在前几章已经记录过。

欧拉定理：设n∈N+,a∈Z,(a,n)=1,则aφ(n)≡1(modn)欧拉定理：设n\in N^+,a\in Z,(a,n)=1,则a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod n)欧拉定理：设n∈N+,a∈Z,(a,n)=1,则aφ(n)≡1(modn)
费马小定理：设n为素数,a∈Z,则an≡a(modn)费马小定理：设n为素数,a\in Z,则a^n\equiv a(mod n)费马小定理：设n为素数,a∈Z,则an≡a(modn)

可以看出，Fermat’s little theorem的条件更严格，要求是n为素数，而欧拉定理只要求a与n互素即可，并没有要求n本身为素数。

目前我学习到的素性检测算法都是以Fermat’s little theorem作为依据，应该是因为Fermat’s little theorem的条件，必须是素数。下面我具体来谈谈我学习到的几个素性检测算法。

Primality Test: Fermat、MILLER-RABIN、IMPROVED

素性检测算法的目的都是一样的：通过满足某些条件，来判断是素数的概率，检测越多次概率越大，但是没法把所有数都遍历，所以概率不会到100%。

Fermat’s little theorem是通过n是素数的条件，推出a,n满足哪些结论。素性检测算法的手段也都是一样的：通过a,n或者其他参数满足哪些条件，判断n是素数的概率。

Fermat素性检测算法：n为奇数，通过多次随机取b∈Z,有(b,n)=1,判断bn−1≡0(modn)b\in Z,有(b,n)=1,判断b^{n-1}\equiv 0(mod n)b∈Z,有(b,n)=1,判断bn−1≡0(modn)来逐步提高n是素数的概率。(n如果是奇合数，则被称为对于基b的伪素数)
MILLER-RABIN算法：更具化了n，使得n的条件更多，“n−1=2st,其中t为奇数，2∤t,通过多次随机取b∈Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件bt≡1(modn),或存在整数r,0≤r<s,使得b2rt≡−1(modn)"“n-1=2^st,其中t为奇数，2\nmid t,通过多次随机取b\in Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件b^t\equiv 1(mod n),或存在整数r,0\le r< s,使得b^{2^rt}\equiv -1(mod n)"“n−1=2st,其中t为奇数，2∤t,通过多次随机取b∈Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件bt≡1(modn),或存在整数r,0≤r<s,使得b2rt≡−1(modn)"来逐步提高n是素数的概率。(n如果是奇合数，则被称为对于基b的强伪素数)
IMPROVED算法：更更具化了n，使得n的条件更多，“n−1=2k3lm,其中2∤m且3∤m,通过多次随机取b∈Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件bm≡1(modn),或存在整数q,0≤q<l,使得b2⋅3qm+b3qm≡−1(modn)",或存在整数r,0≤r<k,使得b2r3lm≡−1(modn)"“n-1=2^k3^lm,其中2\nmid m且3\nmid m,通过多次随机取b\in Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件b^m\equiv 1(mod n),或存在整数q,0\le q< l,使得b^{2·3^qm}+b^{3^qm}\equiv -1(mod n)",或存在整数r,0\le r< k,使得b^{2^r3^lm}\equiv -1(mod n)"“n−1=2k3lm,其中2∤m且3∤m,通过多次随机取b∈Z,(b,n)=1,如果b和n满足条件bm≡1(modn),或存在整数q,0≤q<l,使得b2⋅3qm+b3qm≡−1(modn)",或存在整数r,0≤r<k,使得b2r3lm≡−1(modn)"来逐步提高n是素数的概率。

可以看出，条件逐渐变得严格。有时候某些数可以通过Fermat素性检测算法，却不能通过MILLER-RABIN算法；可以通过MILLER-RABIN算法却不能通过IMPROVED算法。

这是因为比对这两种算法，其实是把Fermat素性检测算法的一个条件进一步拆分成(s+1)个条件，MILLER-RABIN算法继续到IMPROVED算法，也是把1个条件继续拆分成(l+1)个条件。

我们是通过条件中有“0”项来判断整体为“0”，从而素数可能性提高。也就是说，条件项皆不为0，则不能通过素性检测。有没有可能某一个数对于IMPROVED算法，皆不为0，可是对于MILLER-RABIN算法为0呢？应该是有的，即(l+1)个分项不为0，但是(l+1)个分项的乘积为0。即可能存在"b2⋅3qm+b3qm≡−1(modn)不满足,bm≡1(modn)不满足,却满足bt≡1(modn).b^{2·3^qm}+b^{3^qm}\equiv -1(mod n)不满足,b^m\equiv 1(mod n)不满足,却满足b^t\equiv 1(mod n).b2⋅3qm+b3qm≡−1(modn)不满足,bm≡1(modn)不满足,却满足bt≡1(modn)."

代码验证

具体数字需要代码实现验证，此工作正在进行中……

实现了Fermat素性检测算法，和MILLER-RABIN素性检测算法，以2为底，primeTable是0-10w内所有素数，生成算法没有贴上来。

以下是Fermat素性检测算法代码：

from random import random# 利用辗转相除法求最大公因数
def BFactor(a, b):# 若b>a，则交换两个数的值if (b > a):t = aa = bb = tr = b  # 初始化rwhile (r != 0):r = a % b  # r为a/b的余数a = bb = rreturn a  # 得到最后的a为(a,b)# n = int(input("请输入需要检测的整数n："))
# K = int(input("请输入循环次数k："))False_Prime_founded = []def fermat_test(n, K):k = 0while (k < K):flag = False# while (not flag):#     b = int(random() * (n - 4) + 2)  # 生成一个[2,n-2]之间的随机整数#     if (b >= 2 and b <= n - 2):#         flag = Trueb = 2factor = BFactor(b, n)  # 计算(b,n)r = (b ** (n - 1)) % n  # 计算b^(n-1)modnprint("k=" + str(k + 1) + "时,取b=" + str(b), end=",")print("g=(" + str(b) + "," + str(n) + ")=" + str(factor), end=',')print("r=" + str(b) + "^" + str(n - 1) + "(mod " + str(n) + ")=" + str(r), end=',')if (factor > 1):print("故n=" + str(n) + "为合数")breakelif (r != 1):print("故n=" + str(n) + "为合数")breakelse:print("故n=" + str(n) + "可能为素数")k += 1if (k == K and n not in primeTable):False_Prime_founded.append(n)print("所以, n=" + str(n) + "可能为素数,n为素数的概率为" + str((1 - 1 / (2 ** k)) * 100) + "%")def run():for i in range(5, 100000):print(i)fermat_test(i, 1)print("找到的素数：" + str(False_Prime_founded))# 遍历整数，直至找到伪素数run()

以下是MILLER-RABIN素性检测算法代码：

import decimal
from random import random
from decimal import Decimal, localcontext
import mathdecimal.getcontext().prec = 100000000# 辗转相除法找最大公因数(a,b)
def BFactor(a, b):if b > a:t = ab = ta = bq = bwhile (q != 0):q = a % ba = bb = qreturn b# n = int(input("请输入需要检测的整数n："))
# K = int(input("请输入循环次数k："))MI_False_Prime_founded = []def MILLER_RABIN(n, K):k = 0while (k < K):t = n - 1while (t % 2 == 0):print(t)t /= 2print("n: " + str(n) + "t: " + str(t))print("n-1/t:" + str((n - 1) / t))s = int(math.log((n - 1) / t, 2))print("s" + str(s))flag = False# while (not flag):#     b = int(random() * (n - 4) + 2)  # 生成一个[2,n-2]之间的随机整数#     if (b >= 2 and b <= n - 2):#         flag = Trueb = 2factor = BFactor(b, n)  # 计算(b,n)print("t: " + str(t))x = Decimal(Decimal(pow(Decimal(b), Decimal(t))) % Decimal(n))  # 计算b^tmodny = []print("vafac")for r in range(1, s):print("avsdfavafaa")print("s" + str(s))y.append(Decimal(pow(b, (Decimal(pow(2, r) * t)))))print(y)# print("包含2的次幂："+str(y))# print("k=" + str(k + 1) + "时,取b=" + str(b), end=",")# print("g=(" + str(b) + "," + str(n) + ")=" + str(factor), end=',')# # print("r=" + str(b) + "^" + str(n - 1) + "(mod " + str(n) + ")=" + str(r), end=',')for i in y:print("i: " + str(i))print("n: " + str(n))print("i%n: " + str(int(i) % n))if int(i) % n == n - 1:print("故n=" + str(n) + "可能为素数")MI_False_Prime_founded.append(n)breakif factor > 1:print("factor: " + str(factor))print("数字1")print("故n=" + str(n) + "为合数")breakif x == 1 or x == -1:print("数字2")print("故n=" + str(n) + "可能为素数")MI_False_Prime_founded.append(n)# if p== -1 for p in y:#     if p#     print("故n=" + str(n) + "可能为素数")#     k = k + 1else:print("故n=" + str(n) + "为合数")k += 1# if (k == K):#     print("数字3")#     MI_False_Prime_founded.append(n)#     print("所以, n=" + str(n) + "可能为素数,n为素数的概率为" + str((1 - 1 / (2 ** k)) * 100) + "%")def run():for i in primeTable:print(i)MILLER_RABIN(i, 1)print("找到的素数：" + str(MI_False_Prime_founded))primeTable = [341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601,7957, 8321, 8481, 8911, 10261, 10585, 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705,18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341, 30121, 30889, 31417, 31609, 31621, 33153, 34945, 35333,39865, 41041, 41665, 42799, 46657, 49141, 49981, 52633, 55245, 57421, 60701, 60787, 62745, 63973, 65077,65281, 68101, 72885, 74665, 75361, 80581, 83333, 83665, 85489, 87249, 88357, 88561, 90751, 91001, 93961]run()

找到的伪素数分别是：

Fermat算法找到的“素数”：[341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601, 7957, 8321, 8481, 8911, 10261, 10585, 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705, 18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341, 30121, 30889, 31417, 31609, 31621, 33153, 34945, 35333, 39865, 41041, 41665, 42799, 46657, 49141, 49981, 52633, 55245, 57421, 60701, 60787, 62745, 63973, 65077, 65281, 68101, 72885, 74665, 75361, 80581, 83333, 83665, 85489, 87249, 88357, 88561, 90751, 91001, 93961]
MILLER-RABIN算法找到的“素数”：[2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751]

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