CodeForces - 1450E Capitalism(差分约束)

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题目大意：给出一张 n 个点 m 条边的无向图，每个点代表一个人，每个人都有一个权值 a[ i ]，每条边代表朋友关系，规定如果两个朋友之间，权值较小的人会嫉妒权值较大的人。每个朋友关系之间都会产生一个嫉妒关系，更具体的来说，对于 ( u , v ) 来说，要么 a[ u ] = a[ v ] + 1，要么 a[ v ] = a[ u ] + 1，输入时已经确定了某些边的嫉妒关系，现在问如何构造，可以使得 max( a[ i ] ) - min( a[ i ] ) 最大

题目分析：吐槽一下，有的题解只讲怎么建边，而不讲为什么要这样建边，难道图论最难想的部分不就是建图部分吗？能看到这个题目还需要去学学Floyd怎么写，学学Floyd怎么判负环吗？

回到正题，首先因为每条边都会产生 +1 或 -1 的关系，所以将 a[ i ] 按照奇偶分开，不难看出原图是一张二分图，所以题目有解的一个必要条件就是原图是一张二分图

然后考虑差分约束系统的模型：（百度百科）

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k为常数),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

此处的变量对应着题目中的 n 个人，约束条件对应着 m 个朋友关系，首先需要列出不等式组，形式如此：x + y <= k ，分两种情况讨论：

| a[ u ] - a[ v ] | = 1：拆去绝对值，得到两个等式：
1. a[ u ] - a[ v ] = 1，转换成不等式：
  1. a[ u ] - a[ v ] <= 1
  2. a[ u ] - a[ v ] >= 1
  3. 统一形式：a[ u ] - a[ v ] <= 1，a[ v ] - a[ u ] <= -1
2. a[ v ] - a[ u ] = 1，转换成不等式：
  1. a[ v ] - a[ u ] <= 1
  2. a[ v ] - a[ u ] >= 1
  3. 统一形式：a[ v ] - a[ u ] <= 1，a[ u ] - a[ v ] <= -1
a[ v ] - a[ u ] = 1，转化成不等式：
1. a[ v ] - a[ u ] <= 1
2. a[ v ] - a[ u ] >= 1
3. 统一形式：a[ v ] - a[ u ] <= 1，a[ u ] - a[ v ] <= -1

对于所有 x - y <= k 的边，在建图时建立一条 y -> x 权值为 k 的边即可

因为题目需要求的是差分最大值，所以跑最短路然后枚举起点找出差分最大值即可

注意到差分约束如果有解的一个充要条件是图中没有负环，所以需要特判一下

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=210;int n,m;int maze[N][N],f[N];int find(int x)
{return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}void merge(int x,int y)
{int xx=find(x),yy=find(y);if(xx!=yy)f[xx]=yy;
}bool check()//是否为二分图
{for(int i=1;i<=n;i++)if(find(i)==find(i+n))return false;return true;
}bool Floyd()//顺便判负环
{for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)maze[i][j]=min(maze[i][j],maze[i][k]+maze[k][j]);for(int i=1;i<=n;i++)if(maze[i][i]<0)return false;return true;
}void init()
{for(int i=1;i<=n<<1;i++)f[i]=i;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);scanf("%d%d",&n,&m);init();for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)maze[i][j]=i==j?0:inf;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(w){maze[u][v]=1;maze[v][u]=-1;}else{maze[u][v]=1;maze[v][u]=1;}merge(u,v+n);merge(v,u+n);}if(!check()||!Floyd())//不是二分图或者有负环 return 0*puts("NO");int mmax=-inf,st;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(mmax<maze[i][j]){mmax=maze[i][j];st=i;}puts("YES");printf("%d\n",mmax);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",maze[st][i]);puts("");return 0;
}

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