数据库的传统集合运算（并、差、交、笛卡尔积）和专门的关系运算（选择、投影、连接、除运算）

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正文如下：

各种运算符如下：

数据库中每行就是一个元组，每列就是一个属性。

数据库的传统集合运算包括：并、差、交、笛卡尔积运算。这四种运算都与数学上的同名运算概念相似。

并：

差：

交：

笛卡尔积：

广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）：两个分别为n目和m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合，元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1*k2个元组，记作：R×S={tr⌒ts| tr∈R∧ts∈S}或记做R×S={(r1,…,rn ,s1,…,sm)∣((r1,…,rn)∈R∧(s1,…,sm)∈S)。

r,s为R和S中的相应分量。

简单来说，就是把R表的第一行与S表第一行组合写在一起，作为一行。然后把R表的第一行与S表第二行依此写在一起，作为新一行。以此类推。当S表的每一行都与R表的第一行组合过一次以后，换R表的第二行与S表第一行组合，以此类推，直到R表与S表的每一行都组合过一次，则运算完毕。如果R表有n行，S表有M行，那么笛卡尔积R×S有n×M行。

下面举一个例子：

关系表R和S如下图所示：

R并S、R减S、R交S、选择、R与S的笛卡尔积结果如下所示：

选择B>'4'（R），即选择语句的条件，对R的关系做水平分割，选择R中符合条件的元组。

数据库的专门关系运算有：选择（对关系进行水平分割）、投影（对关系进行垂直分割）、连接、自然连接（关系的结合）、除运算等。

选择（selection）：

选择就是"筛选行"。选择一般要对一张表选择符合条件的行（但包含所有列）。

举例：

投影（projection）：

投影就是"筛选列"。一个数据库表，如仅希望得到其一部分的列的内容（但全部行），就是投影。

举例：

除法（division）：

记为R÷S，它是笛卡尔积的逆运算。设关系R和S分别有r列和s列（r>s，且s≠0），那么R÷S的结果有（r-s）个列，并且是满足下列条件的最大的表：其中每行与S中的每行组合成的新行都在R中。注意有时关系之间的除法也有"余数"，可能S×T的结果为R的一部分（最大的一部分），R中的多余部分为"余数"。

举例：

运算过程：

C, D是关系S中的两个属性, 故在R集合中对除了C, D的属性, 即A, B两属性进行投影, 得到a, b; b, c; e, d;这三组, 然后用这个结果与关系S进行笛卡尔积运算, 发现b c c d这组在关系R中没有, 其余a, b; e, d; 做的运算在R中存在. 因此最后结果为a, b; e, d。

连接（join）：

两表笛卡尔积的结果比较庞大，实际应用中一般仅选取其中一部分的行，选取两表列之间满足一定条件的行，就是关系之间的连接。

根据连接条件的种类不同，关系之间的连接分为等值连接、大于连接、小于连接、自然连接。

条件是类似于"B列=D列"的"某列=某列"的条件，就是等值连接；

条件是"某列>某列"的，就是大于连接；

条件是"某列<某列"的，就是小于连接。

自然连接是不提出明确的连接条件，但"暗含"着一个条件，就是"列名相同的值也相同"。在自然连接的结果表中，往往还要合并相同列名的列。当对关系R和S进行自然连接时，要求R和S含有一个或者多个共有的属性。

举一个等值连接的例子：

关系R和S如下图所示：

对关系R、S按条件"R表的B列=S表的B列"进行连接的结果（等值连接）：

小于连接的结果（B<D）：

自然连接的结果（自然连接暗含的条件是R.B=S.B且R.C=S.C，因为R、S中有同名的2列B、C）：

多个条件之间可用"∧"表示"且"，即两边的条件必须同时成立。

如"C>4∧D>3"，表示"C列值>4，且D列值>3"，二者需同时满足。

用"∨"表示"或"，即两边的条件有一个成立即可。

例如"性别='女'∨年龄<20"表示"性别为'女'或者年龄在20岁以下"。
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作者：一骑走烟尘
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/zgcr654321/article/details/82077809
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