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自然常数“e”，工程中的自然数“1”

J Pan

航空工程师

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。我们一般把一种自然现象的状态用一个函数表示，而状态的变化用变化率来描述。

首先明确一下几个概念，这样更有利于后面的分析。状态量是指描述事物当前状态的量，比如某根竹子长5m，某个人体重50Kg。状态量的变化率对应的是导数的概念，是指无穷小时间内状态增量和时间增量的比值。

这样就可以把事物的发展和变化用当前的状态量以及当前状态量的变化率（以及状态量变化率的变化率等等）来描述事物的发展和变化了。

$f'(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}$

单位状态量的变化率是指 状态量的变化率与 状态量 之间的比值。

$\overline{f'(t)}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\frac{1}{f(t)}}=\frac{f'(t)}{f(t)}$

大家可以仔细体会一下这两个定义的区别：状态量变化率对应的是宏观观念，描述的是整体的变化情况；单位状态变化率对应的是微观观念，描述的的局部变化情况。实际事物的局部变化往往是某种物理规律决定的，与当前系统总的状态是无关的。比如竹子的成长变化，每一处竹子的成长规律都是一样的，和当前竹子总长度是无关的，再比如每一个细胞如何分裂的规律是固定的，和当前有多少细胞也没关系 （即单位状态变化率和状态量无关，也即(实际应用上)f(t)f(t)f(t)并不是f′(t)‾\overline{f'(t)}f′(t)的成因，f′(t)‾\overline{f'(t)}f′(t)由物理规律决定，但它可通过f′(t)/f(t)f'(t)/f(t)f′(t)/f(t)求得）。

下面我们来看一个简单的物理现象：假设一根竹苗是1m，它是连续的生长的，单位增长率为100%/year/m（注意是单位状态量的变化率哦）,请问一年后竹子会长多高? 这个问题初看简单，但我敢打赌，大部分人在10分钟内是解答不了的。

解：
f(0)=1f′(t)f(t)=100%⇒f′(t)=f(t)=etf(1)=ef(0)=1 \\ \frac{f'(t)}{f(t)}=100\% \\ \Rightarrow f'(t) = f(t) = e^{t} \\ f(1)=e f(0)=1f(t)f′(t)=100%⇒f′(t)=f(t)=etf(1)=e

学渣给出的答案是：
$(1+\frac{100\%}{1})^1=2m$

初看这个答案是对的，但仔细一想是有问题的，问题的原因是马克思主义哲学没学好，具体一点就是没用发展变化的观点看待问题，忽略了竹子是一直在增长的，新长出来的部分也会继续生长，这是一个动态的过程。

学霸对解算方法进行了改进，可能会给出这样的答案：
既然单位增长率为100%/year/m，那就是100%/12/month/m，每个月我们观察一下，同时把每个月新增长的部分也加进来，作为下个月增长的基数，累计下来一年增长为：
$(1+\frac{100\%}{12})^{12}=2.613m$
或者每天观察一下，累计一年增长为：
$(1+\frac{100\%}{365})^{365}=2.714m$

然而仔细想还是有问题，每两天之间竹子也在生长，头一天长出来的竹子在第二天也会有新的生长。有没有终性的解决方案呢？作为大众的偶像学神，欧拉是怎么解决这个问题呢？请看下面这个式子：
$\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{100\%}{n})^n}$

可能很多人看到这个公式是眼熟而且痛恨的，没错，这就是高等数学上对自然常数e的定义，当初不知道折磨了多少人。这是一个极限问题，但是话又说回来，连续物体的变化本质都是极限问题，因为连续的定义就是距离无穷小嘛。对于这个式子，要回答两个问题：极限到底存不存在，如果存在，数值会是多少呢？大神欧拉证明了这个极限是收敛的，数值为2.718左右，因此通常也称之为欧拉常数eee。
$\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{100\%}{n})^n}=e$
通过简单的变形可以得到：
$\lim_{n \rightarrow \infty}{((1+\frac{1}{n/x})^{n/x})^x}=e^x$
由上面的分析可知，对于一个单位状态量的变化率是固定值的系统，其状态可以用自然常数的指数函数来表示。

前面说的都是时间固定的，假如把时间也加上，则有：
$f(t)=e^{xt}$
当 x=100%x=100\%x=100% 时，有
$f(t)=e^{t}$
如果仔细观察上式，我们还可以得出一个重要的结论：
$100\%=\overline{f'(t)}=\frac{f'(t)}{f(t)}$
指数函数 ete^tet 的变化率与当前的状态值是一样的即指数函数等于它的导数，这是指数函数的一个内禀属性，这是在定义eee的时候就已经隐含的属性。

总结一下，eee到底代表了什么呢？为什么能称之为自然常数？它到底蕴含什么终极奥义？

简单点来说，对于一个单位状态量的变化率是固定值（100%）的系统，eee代表了在一个单位时间内，连续的翻倍增长所能达到的极限值。比如说你存1块钱给银行，银行的年利率是100%，如果一年存一次可获得2元，如果存12次可获得2.613元，如果存无限多次，最多也只能获得eee元。
更深刻一点的说：eee描述了连续体变化或物体连续变化的一种状态（单位状态量变化率是固定值），而自然界中大部分事物变化发展是接近这种状态的，这也就是为什么很多状态曲线呈现指数样式的原因所在。

简单一句话：eee代表了连续。

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