【数据结构笔记30】拓扑排序、AOV网络、AOE网络、关键工序

2024-05-30 07:33:41

本次笔记内容：
8.2.1 拓扑排序
8.2.2 关键路径

文章目录

拓扑排序
- 引例：计算机专业排课（AOV网络）
- 拓扑排序的概念与AOV网络
- 拓扑排序的算法
- 更加聪明的算法
关键路径问题
- AOE（Activity On Edge）网络
- 例子：辅助理解Earliest与Latest

拓扑排序

引例：计算机专业排课（AOV网络）

如上图，可以将计算机课程先修关系绘制成AOV（Activity On Vertex）网络。

拓扑排序的概念与AOV网络

拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序。

获得一个拓扑序的过程就是拓扑过程。

AOV如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）。

如上图，AOV中不可能有环。

拓扑排序的算法

如上图，要注意，输出、抹去节点不是重点，重点是去掉边。

void TopSort()
{for (cnt = 0; cnt < | V | ; cnt++){V = 未输出的入度为0的顶点;if (这样的V不存在){Error("图中有回路");break;}输出V，或者记录V的输出序号;for (V的每个邻接点W)Indegree[W]--;}
}

时间复杂度为O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)。

更加聪明的算法

随时将入度变为0的顶点放到一个容器里。

void TopSort()
{for (Indegree[V] == 0)Enqueue(V, Q);while (!IsEmpty(Q)){V = Dequeue(Q);输出V，或者记录V的输出序号;cnt++;for (V的每个邻接点W)if (--Indegree[W] == 0)Enqueue(W, Q);}if (cnt != | V |)Error("图中有回路");
}

时间复杂度降为了O(∣V∣+∣E∣)O(|V|+|E|)O(∣V∣+∣E∣)。

拓扑排序算法还可以检查是不是有向无环图（DAG）。

关键路径问题

AOE（Activity On Edge）网络

一般用于安排项目的工序。

AOE网络所示内容如上图。

例子：辅助理解Earliest与Latest

如上图，工序(4,6)和(4,7)需要等齐了(1,4)、(2,4)和(3,5)才能开工。因此引入虚工序概念进行表示。

如上图，最早完成时间和最晚完成时间如上图。

机动时间为D<i,j>=Latest[j]−Earliest[i]−C<i,j>D_{<i,j>} = Latest[j] - Earliest[i] - C_{<i,j>}D<i,j>=Latest[j]−Earliest[i]−C<i,j>

关键路径即，由绝对不允许延误的活动组成的路径。

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