一、圆的相关公式推导

圆的周长

>> syms t,R;
x=R*sin(t);y=R*cos(t);
f=sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);
int(f,t,0,2*pi)ans =2*pi*(R^2)^(1/2)

圆的面积

一般的定积分计算

>> 4*int(sqrt(R^2-x^2),0,R)ans =pi*R^2

极坐标计算

>> syms r R theta
int(int(r,r,0,R),theta,0,2*pi)ans =pi*R^2

扇形微元法

>> syms R theta;
int(1/2*R^2,theta,0,2*pi)  ans =pi*R^2

直角坐标二重积分

>> int(int(1,y,-sqrt(R^2-x^2),sqrt(R^2-x^2)),-R,R) ans =pi*R^2

圆柱的体积

>> syms R h;
int(pi*R^2,x,0,h)ans =pi*R^2*h

球的体积

旋转体法

>> y=sqrt(R^2-x^2)
2*int(pi*y^2,x,0,R)y =(R^2 - x^2)^(1/2)ans =(4*pi*R^3)/3

球坐标法

>> int(int(int(r^2*sin(fi),r,0,R),fi,0,pi),theta,0,2*pi)ans =(4*pi*R^3)/3

先二后一的微元法

>> syms r R
>> int(pi*(r^2-z^2),z,-r,r)ans =(4*pi*r^3)/3

先二后一的三重积分

syms z R t;
>> int1=int(r,r,0,sqrt(R^2-z^2));
int2=int(int1,t,0,2*pi);
int3=int(int2,z,-R,R)int3 =(4*pi*R^3)/3

先一后二的三重积分

>> syms theta z r R;>>  int(int(int(1,z,-sqrt(R^2-r^2),sqrt(R^2-r^2))*r,r,0,R),theta,0,2*pi)ans =(4*pi*R^3)/3

二重积分曲顶住体的体积

>> syms t R r;
>> f=sqrt(R^2-r^2);>> int(int(f*r,r,0,R),t,0,pi*2)ans =(2*pi*R^3)/3

球的表面积

>> syms xp yp R;
I1=int(int(1,yp,0,sqrt(R^2-xp^2)),xp,0,R);
I2=int(int(-1,yp,0,sqrt(R^2-xp^2)),xp,0,R);
I=8*(I1-I2)I =4*pi*R^2

>> syms r t R;
x=R*cos(t);y=R*sin(t);z=r^2;
f=1;
A=simplify(diff(x,r)^2+diff(y,r)^2+diff(z,r)^2);
B=diff(x,r)*diff(x,t)+diff(y,r)*diff(y,t)+diff(z,r)*diff(z,t);
C=simplify(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2);
I=int(int(f*sqrt(A*C-B^2),r,0,R),t,0,pi*2)I =2*pi*R^3

二、作图

球的作图办法

>> clear
>> [u,v,w]=sphere(56);
>> subplot(2,2,1)
>> plot3(u,v,w)
>> title('plot3()');
>> subplot(2,2,2);
>> surf(u,v,w);
>> title('surf()');
>> subplot(2,2,3);
>> surfl(u,v,w);
>> title('surfl()');
>> subplot(2,2,4);
>> mesh(u,v,w);
>> title('mesh()')

柱面的作图办法

t=0:pi/20:2*pi;
x=cos(t);
y=sin(t);
z=linspace(0,1,length(t));
X=meshgrid(x);
Y=meshgrid(y);
Z=[meshgrid(z)]';
surf(X,Y,Z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
for k=1:4
view(-37.5,10*k)
pause
end

三、三重积分坐标系


直角坐标下的三重积分计算边长分别为x、y、z的长方体的体积
>> int(int(int(1,x,0,x),y,0,y),z,0,z)ans =x*y*z柱坐标下的三重积分，计算圆柱的体积>> int(int(r*int(1,z,0,z),r,0,r),t,0,pi*2)ans =pi*r^2*z球坐标下的三重积分，计算球的体积
>> int(int(r^2*int(sin(fi),fi,0,pi),r,0,r),t,0,pi*2)ans =(4*pi*r^3)/3

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圆柱的体积

球的体积

球的表面积

二、作图

三、三重积分坐标系

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