P1963 [NOI2009]变换序列

题意

题目描述

对于\(N\)个整数\(0,1, \cdots ,N-1\)，一个变换序列\(T\)可以将\(i\)变成\(T_i\)，其中\(T_i \in \{ 0,1,\cdots, N-1\}\)且\(\bigcup_{i=0}^{N-1} \{T_i \} = \{0,1,\cdots,N-1 \}\)，\(\forall x,y \in \{0,1,\cdots , N-1\}\)，定义\(x\)和\(y\)之间的距离\(D(x,y)=min\{|x-y|,N-|x-y|\}\)。给定每个\(i\)和\(T_i\)之间的距离\(D(i,T_i)\)，你需要求出一个满足要求的变换序列\(T\)。如果有多个满足条件的序列，输出其中字典序最小的一个。

说明：对于两个变换序列\(S\)和\(T\)，如果存在\(p<N\)，满足对于\(i=0,1,\cdots p-1\)，\(S_i=T_i\)且\(S_p<T_p\)，我们称\(S\)比\(T\)字典序小。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数\(N\)，表示序列的长度。接下来的一行包含\(N\)个整数\(D_i\)，其中\(D_i\)表示\(i\)和\(T_i\)之间的距离。

输出格式：

如果至少存在一个满足要求的变换序列\(T\)，则输出文件中包含一行\(N\)个整数，表示你计算得到的字典序最小的\(T\)；否则输出No Answer。注意：输出文件中相邻两个数之间用一个空格分开，行末不包含多余空格。

输入输出样例

输入样例：

5
1 1 2 2 1

输出样例：

1 2 4 0 3

说明

对于\(30 \%\)的数据，满足：\(N \leq 50\)；

对于\(60 \%\)的数据，满足：\(N \leq 500\)；

对于\(100 \%\)的数据，满足：\(N \leq 10000\)。

思路

这题\(5 \ mins\)之内做不出来我吃屎。 --Uranus
...
时间到了，记得你打的赌啊。 --oyyz

这个故事告诉我们不要随便插\(flag\)。

进入正题。对于每一个\(i\)，显然有两个\(T_i\)可以满足\(D(i,T_i)=D_i\)，即：

\[T_i=i+D_i \ ( \mod n) \ or \ T_i=i-D_i \ ( \mod n)\]

题目询问的就是是否有一个序列\(T\)能满足上述要求且\(T\)为\(0-(n-1)\)的一个排列。那么我们就可以用二分图匹配的方法来对\(i\)尽可能匹配\(T_i\)，从而得到是否有解。

那么如何让解满足字典序最小呢？想想二分图匹配中匈牙利算法的过程：尽量满足后匈牙利的点能够满足匹配，将前面匹配过的点向后移。我们就可以利用这个思路，反向匹配，那么就能达到字典序最优。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e4+514;
int n,to[MAXN][2],match[MAXN],inv[MAXN];
bool vis[MAXN];
int read()
{int re=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();return re;
}
bool dfs(int now)
{for(int i=0;i<2;i++){int hjj=to[now][i];if(!vis[hjj]){vis[hjj]=true;if(match[hjj]==-1||dfs(match[hjj])){match[hjj]=now,inv[now]=hjj;return true;}}}return false;
}
int main()
{n=read();memset(match,-1,sizeof match);for(int i=0;i<n;i++){int x=read();to[i][0]=(i+x)%n,to[i][1]=(i-x+n)%n;if(to[i][0]>to[i][1]) swap(to[i][0],to[i][1]);}for(int i=n-1;i>=0;i--){memset(vis,false,sizeof vis);if(!dfs(i)){printf("No Answer");return 0;}}for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",inv[i]);return 0;
}