【数值分析】—— 对数函数、指数函数（数值稳定性）

0. 数值分析

数值分析（计算数学）观点，如下两种最常见的浮点数运算过程中损失有效数字的情况。

两个相近的数相减
两个数量级相差很大的数字相加减

1. limx→0log(1+x)limx→0log⁡(1+x)\lim_{x\to 0}\log(1+x)（两个数量级相差很大的数字相加减）

计算 log(1+x)log⁡(1+x)\log(1+x)，Python math 库中有专门的函数，math.log1p（plus 1）。
从计算机数值计算的角度，当 xxx 逼近 0 时，math.log1p(x) 比直接计算 math.log(x)+1不会丢失过多的精度。

math.log1p 的实现原理基于 log⁡(1+x)" role="presentation">log(1+x)log⁡(1+x)\log(1+x) 的泰勒展开：

log(1+x)=x−x22+x33−x44+x55+⋯log⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+x55+⋯

\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\frac{x^5}{5}+\cdots

def log1p(x):if fabs(x) > 1e-4:return log(1.0+x)return (1.0-x*0.5)*x

2. limx→0exp(x)−1limx→0exp⁡(x)−1\lim_{x\to 0}\exp(x)-1（两个相近的数相减）

计算 exp(x)−1exp⁡(x)−1\exp(x)-1，Python math 库中有专门的函数，math.expm1（minus 1）。
从计算机数值计算的角度，当 xxx 逼近于0时，math.expm1(x)相比直接计算 math.exp(x)-1不会丢失过多的精度。

同样地对 exp⁡(x)−1" role="presentation">exp(x)−1exp⁡(x)−1\exp(x)-1 进行泰勒展开：

ex−1=x+x22+x36+x424+x5120+⋯ex−1=x+x22+x36+x424+x5120+⋯

e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots

def expm1(x):if fabs(x) > 1e-4:return exp(x) - 1.0return (1.0+0.5*x)*x

可以看到这个级数收敛的很快，因此我们只要取很少的几项就能得到很高的计算精度。

log1p(x) 和 expm1(x) 函数的实现

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