第3章MATLAB符号计算

符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。

3.1符号表达式的建立

Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。

3.1.1创建符号常量

符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。

语法：

sym(‘常量’)%创建符号常量

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：

>> a=sym('sin(2)')

a =

sin(2)

sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。

语法：

sym(常量,参数)%把常量按某种格式转换为符号常量

说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。

表3.1参数设置

参数

作用

d

返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)

f

返回该符号值最接近的浮点表示

r

返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一

e

返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：

sin(2)

例如，把常量转换为符号常量，按系统默认格式转换：

8190223105242182*2^(-53)

【例3.1】创建数值常量和符号常量。

7.6137

2*sqrt(5)+pi

8572296331135796*2^(-50)

7.6137286085893727261009189533070

a31=a3-a1 %数值常量和符号常量的计算

0

2*sqrt(5)+pi

可以通过查看工作空间来查看各变量的数据类型和存储空间，工作空间如图3.1所示。

3.1.2创建符号变量和表达式

创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。

1.使用sym命令创建符号变量和表达式

语法：

sym(‘变量’,参数)%把变量定义为符号对象

说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为’positive’、’real’和’unreal’， ’positive’ 表示为“正、实”符号变量，’real’表示为“实”符号变量，’unreal’ 表示为“非实”符号变量。如果不限定则参数可省略。

【例3.2】创建符号变量，用参数设置其特性。

z=x+i*y;%创建z为复数符号变量

real(z) %复数z的实部是实数x

x

real(z) %复数z的实部

1/2*x+1/2*conj(x)

程序分析：设置x、y为实数型变量，可以确定z的实部和虚部。

语法：

sym(‘表达式’)%创建符号表达式

【例3.2续】创建符号表达式。

a*x^2+b*x+c

2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式

语法：

syms(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数)%把字符变量定义为符号变量

syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式

说明：syms用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的sym命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。

【例3.2续】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。

f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式

a*x^2+b*x+c

f3=a*x^2+b*x+c; %创建符号表达式

程序分析：既创建了符号变量a、b、c、x，又创建了符号表达式，f2、f3和f1符号表达式相同。

3.1.3符号矩阵

用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。

[ a, b]

[ c, d]

例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：

A=[a b;c d]

[ a, b]

[ c, d]

【例3.3】比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。

[ a, b]

[ c, d]

[a,b;c,d]

程序分析：由于数值变量a、b、c、d未事先赋值，MATLAB给出错误信息。

[ a, b]

[ c, d]

A2x2                      312 sym object

B1x9                       18 char array

C2x2                      312 sym object

Grand total is 25 elements using 642 bytes

程序分析：查看符号矩阵A，可以看到为2×2的符号矩阵，占用较多的字节。

3.2符号表达式的代数运算

符号运算与数值运算的区别主要有以下几点：

§传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算是非常准确的。

§符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。

§符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。

3.2.1符号表达式的代数运算

符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。

1.符号运算中的运算符

(1) 基本运算符

§运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。

§运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。

§运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。

(2) 关系运算符

§在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。

§运算符“= =”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。当为“真”时，比较结果用1表示；当为“假”时，比较结果则用0表示。

2.函数运算

(1) 三角函数和双曲函数

三角函数包括sin、cos、tan；双曲函数包括sinh、cosh、tanh；三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外，其余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同。

(2) 指数和对数函数

指数函数sqrt、exp、expm的使用方法与数值计算的完全相同；对数函数在符号计算中只有自然对数log(表示ln)，而没有数值计算中的log2和log10。

(3) 复数函数

复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。

(4) 矩阵代数命令

MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag，triu，tril，inv，det，rank， poly，expm，eig等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样。

【例3.4】求矩阵的行列式值、非共轭转置和特征值。

syms a11 a12 a21 a22

A=[a11 a12;a21 a22] %创建符号矩阵

[ a11, a12]

[ a21, a22]

a11*a22-a12*a21

A.' %计算非共轭转置

[ a11, a21]

[ a12, a22]

[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]

[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]

【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。

2*x^2+3*x+4

5*x+6

f+g %符号表达式相加

2*x^2+8*x+10

f*g %符号表达式相乘

(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)

3.2.2符号数值任意精度控制和运算

1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式

在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：

§数值型：MATLAB的浮点运算。

§有理数型：Maple的精确符号运算。

§VPA型：Maple的任意精度运算。

2.任意精度控制

任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。

语法：

digits(n)%设定默认的精度

说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。

语法：

S=vpa(s,n)%将s表示为n位有效位数的符号对象

说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。

【例3.6】对表达式进行任意精度控制的比较。

2*sqrt(5)+pi

digits %显示默认的有效位数

Digits = 32

vpa(a) %用默认的位数计算并显示

7.6137286085893726312809907207421

vpa(a,20) %按指定的精度计算并显示

7.6137286085893726313

vpa(a) %按digits指定的精度计算并显示

7.61372860858937

3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较

【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。

0.6667

2/3

.66666666666666666666666666666667

程序分析：

§三种运算方式中数值型运算的速度最快。

§有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。

§VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。

§数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：

a1

0.66666666666667

3.2.3符号对象与数值对象的转换

1. 将数值对象转换为符号对象

sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

2.将符号对象转换为数值对象

使用double、numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。

语法：

N=double(S)%将符号变量S转换为数值变量N

N=numeric(S)%将符号变量S转换为数值变量N

【例3.7】将符号变量与数值变量进行转换。

a1=sym('2*sqrt(5)+pi')

2*sqrt(5)+pi

7.6137

7.6137286085893726312809907207421

7.6137

【例3.7续】由符号变量得出数值结果。

7.6137

用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：

a11x1                      148 sym object

a21x1                      190 sym object

b11x1                        8 double array

b21x1                        8 double array

b31x1                        8 double array

Grand total is 50 elements using 362 bytes

3.3符号表达式的操作和转换

3.3.1符号表达式中自由变量的确定

1. 自由变量的确定原则

，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：

§小写字母i和j不能作为自由变量。

§符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。

§大写字母比所有的小写字母都靠后。

2. findsym函数

如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。

语法：

findsym(EXPR,n)%确定自由符号变量

说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。

【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。

a*x^2+b*x+c

a, b, c, x