可公度线段与欧几里得（Euclid）算法

通过本文，我们将发现欧几里得算法（求两个数的最大公约数，也称作辗转相除），根本不需要死记硬背，仅仅通过数论中的一个小小的结论（有关可公度线段，commensurable），即可轻易推导出来。

既然算法来自欧几里得两千年前的几何原本一书，我们也回归代数与几何在书中含义上的统一，继续沿用书中的说法。假如我们要求线段 aa 和线段 bb 的最大公度单位（也即最大公约数），不妨设 aa 比 bb 更长。

如果 bb 正好能度量 aa（bb 能度量 aa 的含义是 aa 是 bb 的整数倍），bb 自然也能度量它自身，因此 bb 就是 aa 和 bb 的一个公度单位；
如果 bb 不能被 aa 整除，这说明 aa 的长度等于 bb 的某个整数倍，再加上一个零头（余数），不妨把该零头记为 cc，也即此时 a=k⋅b+ca = k\cdot b+c。如果此时某条线段能同时度量 bb 和 cc，那么它显然也能度量 aa。也即，此时为了找到 aa 和 bb 的共度单位，我们只需寻找 bb 和 cc 的公度单位即可。此时便构成了递归；

def euclid(a, b):if a < b:a, b = b, areturn b if a % b == 0 else euclid(b, a%b)

证明

我们不妨把 Euclid 算法对 aa 和 bb 进行这番折腾后得到的结果记做 xx。xx 是 aa 和 bb 的公度单位。不过，它一定是最大的公度单位吗？证明 xx 为最大公度单位，也即证明 aa 和 bb 的任意一个公度单位，记为yy，一定能够度量 xx，从而不会超过 xx。

yy 能同时度量 aa 和 bb（a=k1⋅b+ca=k_1\cdot b+c），它能度量 bb 就意味着它能同时度量 bb 的任意正数倍（k1⋅bk_1\cdot b），要想让它也能同时度量 aa 的话，只需而且必须让它能够度量 cc。于是 yy 也能同时度量 bb 和 cc，又 b=k2⋅c+db=k_2\cdot c+d，根据同样的道理，又可推出 yy 一定能度量 dd，…., 最后发现，yy 一定能度量 xx。

效率

欧几里得算法（辗转相除法）的效率其实非常高。实际上，我们可大致估计出辗转相除的效率。第一次做除法时，我们 amodb=ca\mod b=c，

如果 bb 的值不超过 aa 的一半，那么 cc 更不会超过 aa 的一半（因为余数小于除数）。
如果 bb 的值超过了 aa 的一半，那么 cc 直接就等于 a−ba-b（a=k⋅b+ca=k\cdot b+c，此时 kk 只能为1），同样小于 aa 的一半；

也即辗转相除法的运算次数是对数级别的；

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