Description

TTT组数据，T≤1e5,n≤1e7T\le1e5,n\le1e7T≤1e5,n≤1e7

Solution

好家伙，最下面的数据范围居然是这样的：

直接以为卡特兰数乘上个组合数就能切了（
然而数据范围在读入的地方

这个看起来1e71e71e7的O(1)O(1)O(1)查询多半是递推吧。
因此写出dp，f(n),g(n)f(n),g(n)f(n),g(n)分别表示长度为nnn合法方案数以及贡献和。
讨论第一个是′x′'x'′x′还是′(′'('′(′，容易得到转移，以及对应的生成函数：
F(x)=1+xF(x)+x2F2(x)F(x)=1+xF(x)+x^2F^2(x) F(x)=1+xF(x)+x2F2(x)

G(x)=xF(x)+xG(x)+2x2G(x)F(x)G(x)=xF(x)+xG(x)+2x^2G(x)F(x) G(x)=xF(x)+xG(x)+2x2G(x)F(x)
暴力解：

F(x)=1−x−1−2x−3x22xF(x)=\frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x} F(x)=2x1−x−1−2x−3x2

G(x)=1−x1−2x−3x2−12xG(x)=\frac{\frac{1-x}{\sqrt{1-2x-3x^2}}-1}{2x} G(x)=2x1−2x−3x21−x−1

关于F(x)F(x)F(x)的求根公式为什么是负号，考虑后面的东西开根是1−x+...1-x+...1−x+...，而F(x)F(x)F(x)没有负数次幂，因此分子部分常数项和一次项都被消掉了，所以要是负号（直接计算用洛必达法则计算极限也可以证明？）
那么问题在于求(1−2x−3x2)−0.5(1-2x-3x^2)^{-0.5}(1−2x−3x2)−0.5，剩下的都可以线性变换。
套用短多项式求幂的方法：
- F(x)=Gk(x)F(x)=G^k(x)F(x)=Gk(x)，lnF(x)=klnG(x)ln\ F(x)=k\ ln\ G(x)ln F(x)=k ln G(x)
- 求导得
  F′(x)F(x)=kG′(x)G(x)\frac{F'(x)}{F(x)}=k\frac{G'(x)}{G(x)} F(x)F′(x)=kG(x)G′(x)
  
  F′(x)G(x)=kG′(x)F(x)F'(x)G(x)=kG'(x)F(x) F′(x)G(x)=kG′(x)F(x)
- 那么考虑第nnn项的系数，左边右边分别卷在一起，但是左边由于求了导数，所以涉及到了f(n+1)f(n+1)f(n+1)，又由于G(x)G(x)G(x)是常数项的，所以系数相当于O(1)O(1)O(1)算出，可以从f(1..n)f(1..n)f(1..n)推到f(n+1)f(n+1)f(n+1)。
- 最后是常数项，一般根据题意猜出？这题由于是在整数域内开根号，常数项应该是正负1吧。
可以化简为：

(n+1)ansn−3n∗ansn−1−(n+3)ansn−2+(3n−6)ansn−3=0(n+1)ans_n-3n*ans_{n-1}-(n+3)ans_{n-2}+(3n-6)ans_{n-3}=0 (n+1)ansn−3n∗ansn−1−(n+3)ansn−2+(3n−6)ansn−3=0

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 10000005
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;int T,n,i,j,k;
ll f[maxn],inv[maxn];int main(){freopen("ceshi.in","r",stdin);
//  freopen("power.in","r",stdin);
//  freopen("power.out","w",stdout);inv[0]=inv[1]=1;for(i=2;i<maxn;i++) inv[i]=inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;f[1]=1,f[2]=2;for(i=3;i<maxn-1;i++) f[i]=(f[i-1]*3*i+f[i-2]*(i+3)+f[i-3]*(6-3*i))%mo*inv[i+1]%mo;scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%lld\n",(f[n]+mo)%mo);}
}

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