51nod 3144 超级购物

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3144 超级购物

题目大意

有 n(1≤n≤20)n\ (1\le n\le 20)n (1≤n≤20) 个人去逛商场，第 iii 个人在商场买东西的概率为 pi(0.1<pi<1)p_i(0.1< p_i<1)pi(0.1<pi<1)
他们逛完商场后，已知有 r(0≤r≤n)r(0\le r\le n)r(0≤r≤n) 个人买了东西，对每个人求他买了东西的概率。

解题思路

可以利用贝叶斯公式来分析 P(A),P(B),P(A∣B)P(A),P(B),P(A|B)P(A),P(B),P(A∣B) 之间的关系：
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=P(A)×P(B∣A)P(B)P(A|B )=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B|A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)=P(B)P(A)×P(B∣A)
如何求出这个公式的值？我们考虑使用类似解决背包问题的方法（可能是动规，也有可能是递推，我不知道）
假设 fi,jf_{i,j}fi,j 表示前 iii 个人中，jjj 个人进行了购物，那么，可以使用如下的方法进行转移：
fi,j=fi−1,j×(1−pi)+fi−1,j−1×pif_{i,j}=f_{i-1,j}\times (1-p_i)+f_{i-1,j-1}\times p_ifi,j=fi−1,j×(1−pi)+fi−1,j−1×pi
也就表示，前 iii 个人中 jjj 个人进行购物的概率为：前 i−1i-1i−1 个人中 jjj 个人购物的概率乘上第 iii 个人不购物的概率（1−pi1-p_i1−pi），再加上前 i−1i-1i−1 个人中 j−1j-1j−1 个人购物的概率乘上第 iii 个人购物的概率。（特殊情况：当在运算 P(第n2个人必须购物∣一共有n个人购物)P(第n_2个人必须购物|一共有n个人购物)P(第n2个人必须购物∣一共有n个人购物) 枚举到前 n2n_2n2 个人时，因为最后还需要乘 pn2p_{n_2}pn2，所以本来 fi,j=fi−1,j×pn2f_{i,j}=f_{i-1,j}\times p_{n_2}fi,j=fi−1,j×pn2 只需 fi,j=fi−1,jf_{i,j}=f_{i-1,j}fi,j=fi−1,j 即可，至于为什么不用加 fi−1,j−1×pif_{i-1,j-1}\times p_ifi−1,j−1×pi 是因为这是不购物的概率，而 n2n_2n2 这个人目前的假设是必须购物）

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r;
double p[100],f[100][100];
double work(int n2)
{//i表示前i个人，j表示有j个人购物 f[0][0]=1;//0个人中0个人购物的概率为1for(int i=1;i<=n;i++){//枚举前i个人购物if(i==n2){//必须购物的第n2个人for(int j=0;j<=min(i,r);j++)//特殊情况f[i][j]=f[i-1][j];continue;}f[i][0]=f[i-1][0]*(1-p[i]);//若j=0还j-1就会REfor(int j=1;j<=min(i,r);j++)//转移方程f[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i])+f[i-1][j-1]*p[i]; }if(n2==0)//当规定第0个人必须购物时，默认为求事件B的概率（所有人中有r个人购物的概率）return f[n][r];return f[n][r-1];//由于规定了第n2个人必须购物，只需要求出所有人中r-1个人购物的概率即可
}
int main()
{cin>>n>>r;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>p[i];p[i]=p[i]/100.0;//给定的概率是按照百分比的形式给出的，所以需要除以100}double B=work(0);//求出事件B的概率for(int i=1;i<=n;i++)//求出第i个人购物的概率cout<<work(i)*p[i]/B<<" ";return 0;
}

样例

输入

3 2
10 20 30

输出

0.413043 0.739130 0.847826

注意：要求：用户输出与标准输出的绝对误差不超过1e-3