YbtOj#20073. 「NOIP2020 模拟赛 B 组 Day6」钻石守卫

文章目录

ResultResultResult
HyperlinkHyperlinkHyperlink
DescriptionDescriptionDescription
SolutionSolutionSolution
CodeCodeCode

ResultResultResult

HyperlinkHyperlinkHyperlink

http://noip.ybtoj.com.cn/contest/105/problem/3

DescriptionDescriptionDescription

一张无向图G{n,m}G\{n,m\}G{n,m}，给定点权和边权，现在要求降低这张图的点权，使得任意一条边权等于它连接的两个点的点权和

求最小/大的点权和

数据范围：n≤5×105,m≤3×106n\leq 5\times 10^5,m\leq 3\times 10^6n≤5×105,m≤3×106

SolutionSolutionSolution

最小点权和=点权和-最大可删除点权
最大点权和=点权和-最小可删除点权

考虑求删除点权的范围即可

假设我们选定一个点aaa，它的权值是xxx，现在有二条边a−>b−>ca->b->ca−>b−>c，边权分别为di,djd_i,d_jdi,dj，设b,cb,cb,c的权值为y,zy,zy,z

则有0≤di−x≤y0\leq d_i-x\leq y0≤di−x≤y移项可以得到yyy的取值范围
同理，有0≤dj−di+x≤z0\leq d_j-d_i+x\leq z0≤dj−di+x≤z移项可以得到zzz的取值范围

容易发现，aaa可以到达的点（即同一个联通块内），每个点的取值范围都是关于xxx的一次函数f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b，显然我们讨论kkk即可得到他们的取值范围，最后取它们解集的交集即可

需要注意的是，如果构成了环，那么会得到方程k1x+b1=k2x+b2k_1x+b_1=k_2x+b_2k1x+b1=k2x+b2，其中k1,b1k_1,b_1k1,b1是你通过这条返祖边（构成环的那条边）得到的kkk和bbb，k2,b2k_2,b_2k2,b2是这个点之前得到的kkk和bbb
讨论它解的情况即可

具体地，若k1=k2k_1=k_2k1=k2，当且仅当b1=b2b_1=b_2b1=b2时该方程有无限组解，否则无解
无限组解说明这个点的权值随便改，那我们可以不用管它，无解返回0即可
否则，则方程存在根x=b2−b1k1−k2x=\frac {b_2-b_1}{k_1-k_2}x=k1−k2b2−b1，判断这玩意儿是不是整数即可

时间复杂度：O(n+m)O(n+m)O(n+m)

CodeCodeCode

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define N 500010
using namespace std;int n,m,p[N],l[N],tot,u,v;
struct node{int next,to;LL w;}e[6000010];LL w;
inline void add(int u,int v,LL w){e[++tot]=(node){l[u],v,w};return (void)(l[u]=tot);return;}
LL sum,b[N],sumb,L,R,maxs,mins;
int k[N],sumk;
inline bool ck(int K1,LL B1,int K2,LL B2)
{if(K1==K2) return B1==B2;if((B2-B1)%(K1-K2)) return false;LL w=(B2-B1)/(K1-K2);if(w<L||w>R) return false;return (L=R=w,true);
}
inline bool dfs(int x)
{sumk+=k[x];sumb+=b[x];if(k[x]==1) L=max(L,-b[x]),R=min(R,p[x]-b[x]);else L=max(L,b[x]-p[x]),R=min(R,b[x]);if(L>R) return 0;for(register int i=l[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if(k[y]) {if(ck(-k[x],e[i].w-b[x],k[y],b[y])==0) return false;}else {k[y]=-k[x];b[y]=e[i].w-b[x];if(dfs(y)==0) return false;}}return 1;
}
inline LL read()
{LL d=1,f=0;char c;while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;return d*f;
}
signed main()
{freopen("diamond.in","r",stdin);freopen("diamond.out","w",stdout);n=read();m=read();for(register int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(),sum+=p[i];for(register int i=1;i<=m;i++) u=read(),v=read(),w=read(),add(u,v,w),add(v,u,w);for(register int i=1;i<=n;i++) if(k[i]==0){L=sumk=sumb=0;R=p[i];k[i]=1;if(dfs(i)==false) return puts("NIE\n")&0;else{if(sumk<0) maxs+=L*sumk+sumb,mins+=R*sumk+sumb;else maxs+=R*sumk+sumb,mins+=L*sumk+sumb;}}printf("%lld %lld\n",sum-maxs,sum-mins);
}