1 Diffie Hellman算法

密钥交换DH

Alice和Bob希望通过在不安全的通道上交换信息来获得共享的密钥k
他们同意使用公共参数：生成器G和素数mod p，即对素数字段Fp ={1,2,…, p−1}
1. Alice生成私钥a<P，计算她的公钥 A = G^a (mod p)
  Bob生成私钥b，计算他的公钥 B = G^b (mod p)。
2. Alice和Bob互相交换公钥，然后计算:
  Alice: KAs = B^a = G^ba mod§
  Bob: KBs = A^b = G^ab mod§
- 共享密钥为Ks = KAs = kBs
共享密钥k随后被用于使用对称密钥加密系统的加密/解密。
举例
公共参数:生成器G = 2，素数模p = 31

Alice生成私钥a = 13，计算她的公钥A = 213 (mod 31) = 8
Bob生成私钥b = 17，并计算他的公钥B = 217 (mod 31) = 4。
他们互相交换公钥，然后计算:
Alice: KAs = 4¹³ (mod 31) = 16
Bob: KBs = 8¹⁷ (mod 31) = 16

此处共享密钥为Ks = KAs = KBs = 16

DH加密- ElGamal方法

Alice想加密发送给Bob信息，原文是M

Bob定义了G，p，私钥kpr = b，计算 B = G^b (mod p)；
所以公钥KBpub = <G, p,B>，Bob把KBpub发送给Alice。
Alice选择私钥a，计算公钥 A = G^a (mod p)；
然后得出共享密钥：Ks = B^a = G^ba (mod p)
Alice加密消息M，即C = M·Ks (mod p)
将密文C，Alice的公钥A发送给B
Bob导出加密密钥Ks = Ab (mod p)
解密过程

2 DH算法的安全性

Eve得到:G, p, A = Ga (mod p)， B = Gb (mod p)，可以通过求解
- Diffie-Hellman问题(DHP): Eve能找到Gab (mod p)吗?
- 离散对数问题(DLP):给定G, p，和G^x(modp)，Eve能找到a或b吗?
安全性：如果p很大，DHP和DLP被认为很难解决，例如1024,1536,2048位。数值大的p在计算上很费劲。

3 椭圆曲线DH (ECDH)

椭圆曲线的操作

例子

ECDH密钥交换

域参数:素数p，α，β，P = (xP, yP)
P点在曲线E上：y²≡x³ + αx + β (mod p)
Bob分别选择他们的私钥a, b
Alice的公钥:A = aP (mod p)
Bob的公钥:B = bP (mod p)
交换公钥后，计算共享密钥
a(B) = abP (mod p)
Bob: KB = b(A) = baP (mod p) = KA

安全性基于椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)，即当p较大时，无法从aP, bP中获得a, b, abP

4 安全级别比较

如果已知的最佳攻击需要2ⁿ步，则该算法的“安全强度”为n位。(Christoff Paar)

5 中间人(MiTM)攻击

Alice和Bob交换公钥
Eve拦截了Alice和Bob之间的所有交流，她将自己的公钥发送给Alice和Bob。
Alice不能确定她接收到的公钥不是来自Bob，Bob同理也无法确定。
Alice和Bob认为他们在给彼此加密信息，但实际上是在加密给Eve的信息，Eve充当中间人，能够读取Alice和Bob之间的所有加密信息

6 结论

DH作用于素数领域，ECDH作用于椭圆曲线上的点。
安全性取决于DLP或ECDLP问题的硬度。
DH和ECDH用于双方通过交换公钥计算共享密钥。
ElGamal算法可以用于加密，如RSA。它以DH为基础。
ECDH比DH或RSA使用的数字要小得多。

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IST-5-非对称加密之DH

目录

1 Diffie Hellman算法

密钥交换DH

DH加密- ElGamal方法

2 DH算法的安全性

3 椭圆曲线DH (ECDH)

椭圆曲线的操作

ECDH密钥交换

4 安全级别比较

5 中间人(MiTM)攻击

6 结论

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