循环 noip2005

循环

问题描述

乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。
一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复 2，4，8，6，2，4，8，6…
我们说 2的正整数次幂最后一位的循环长度是 4（实际上 4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。
类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数 n 的正整数次幂来说，它的后 k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？
注意：
1．如果 n的某个正整数次幂的位数不足 k，那么不足的高位看做是 0。
2．如果循环长度是 L，那么说明对于任意的正整数 a，n 的 a 次幂和 a+L 次幂的最后 k位都相同。
输入格式
输入文件只有一行，包含两个整数 n和 k，n 和 k 之间用一个空格隔开，表示要求 n 的正整数次幂的最后 k位的循环长度。
输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。
如果循环不存在，输出 −1。
数据范围
1≤n≤10¹⁰⁰, 1≤k≤100
输入样例：
8833828847284838929929 5
输出样例：
2500

解析

考察低k位循环节的情况，可以从数学角度推出： 假设个位存在循环，且最小循环节长度为x，那么所有前k位的循环节长度一定是x的整数倍，如果存在的话。
如果低K位不存在循环，则k +1 位必然不存在循环。
如果前k+1位存在循环，则前k位必然存在循环。

算法：高精度
数学推导
从个位向K位递推求解

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;
//循环节；奥数；数论
//高精度乘法
const int N = 107;
int m;
int nums[N], nk[N];void mul(int c[], int a[],int b[])
{static int temp[N];memset(temp,0, sizeof temp);for(int i = 0; i < m; i ++)for(int j = 0; j < m;j ++)if(i + j < m)temp[i + j] += a[i] * b[j];for(int i = 0, t=0;i < m; i ++){t += temp[i];temp[i] = t % 10;t /= 10;} memcpy(c, temp, sizeof temp);
}void mul(int c[], int a[],int b)
{for(int i = 0, t= 0; i < m; i ++){t += a[i] * b;c[i] = t % 10;t /= 10;}
}int main()
{string str;cin >> str >> m;for(int i = 0, j = str.size() - 1; j>=0;i ++, j --)nums[i] = str[j] - '0';//逆序存放memcpy(nk, nums, sizeof nums);int xhj[N]  ={1}; //循环节长度，高精度存储int pn[N], p1[N];for(int k = 1;k <= m; k++)//递推m位{memcpy(pn, nums,sizeof pn);memset(p1, 0, sizeof p1);p1[0] = 1;//0000000000000000000001int r = 0;while(r <= 10){mul(pn,pn,nk);//快速迭代mul(p1,p1,nk);//算出nkr ++;if(pn[k-1]== nums[k -1]) break;//存在循环}memcpy(nk,p1, sizeof p1);//更新nkif(r > 10)//由抽屉原理，大于10则无解{memset(xhj,0,sizeof xhj);xhj[0] = -1;break;}mul(xhj,xhj,r);//循环节长度扩大r倍} int x = m;while(!xhj[x]) x --;while(x >= 0) cout << xhj[x --];return 0;
}

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