Tarjan学习小记

子图：由这张图的一部分构成的图

点：节点
边：连接节点的东西，分为有向和无向
重边：两点之间存在两条及以上的边

自环：自己连自己的边
环：一些边使得这些点可以不重复经过这些边到达上面的任意一个节点
简单环：除去自环的环

rtrtrt：该搜索树的根
dfn[x]dfn[x]dfn[x]：xxx的搜索序
low[x]low[x]low[x]：xxx的子树中能够追溯到最小的dfndfndfn

stk[x]stk[x]stk[x]：基于搜索序的栈
toptoptop：上述栈的栈顶

无向图：边没有方向的图

无向图连通分量：由一些点和连接它们的边构成的子图，这些点间通过这些边相互到达

割点：去除这个点以及这个点相连的边后使得联通快数量增加的点
判定法则：一个非rtrtrt的点xxx是割点，当且仅当dfnx≤lowydfn_x\leq low_ydfnx≤lowy。特别地，当x=rtx=rtx=rt时，需要至少两个yyy

割边：去除这条边后使得联通快数量增加的边
判定法则：一条边(x,y)(x,y)(x,y)是割边，当且仅当dfnx<lowydfn_x<low_ydfnx<lowy

点双：没有割点的连通分量
判定法则：节点数最多为2，任意两点同时包含在至少一个简单环中

dcc[x]dcc[x]dcc[x]：编号为xxx的点双的集合

边双：没有割边的连通分量
判定法则：任意边都被包含在至少一个简单环中

which[x]which[x]which[x]：xxx属于哪个边双

边双缩点：以边双序号为新的节点序号，建一个新的无向图

CodeCodeCode
主程序部分必备

for(register int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i);

割点&割边

inline void Tarjan(int x)
{dfn[x]=low[x]=++cnt;int flg=0;for(register int i=l[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if(dfn[y]==0){Tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);if(dfn[x]<=low[y]){flg++;if(flg>1||x!=rt) mark[x]=true;//割点判定}if(low[y]>dfn[x]) bridge[i]=bridge[i^1]=true;//割边判定}else low[x]=min(low[x],dfn[y]);}return;
}

求每个点属于哪个边双（不走割边遍历整张图）

int which[N],gs;
inline void dfs(int x)
{which[x]=gs;for(register int i=l[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if(which[y]||bridge[i]) continue;dfs(y);}return;
}
signed main()
{……for(register int i=1;i<=n;i++) if(!which[i]) gs++,dfs(i);
}

求点双

inline void Tarjan(int x)
{dfn[x]=low[x]=++cnt;int flg=0;stk[++top]=x;if(x==root&&l[x]==0) return (void)(dcc[++gs].push_back(x));for(register int i=l[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if(dfn[y]==0){Tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);if(dfn[x]<=low[y]){flg++;if(flg>1||x!=rt) mark[x]=true;//割点判定gs++;int z;do{z=stk[top--]dcc[gs].push_back(z);}while(z!=y);dcc[gs].push_back(x);}if(low[y]>dfn[x]) bridge[i]=bridge[i^1]=true;//割边判定}else low[x]=min(low[x],dfn[y]);}return;
}

有向图：边有方向的图

有向图连通分量：由一些点和连接它们的边构成的子图
有向图强连通分量：由一些点和连接它们的边构成的子图，这些点间通过这些边相互到达
判定法则：low[x]=dfn[x]low[x]=dfn[x]low[x]=dfn[x]

which[x]which[x]which[x]：xxx属于哪个强联通分量

缩点

inline void Tarjan(int x)
{low[x]=dfn[x]=++cnt;stk[++top]=x;vis[x]=true;for(register int i=l[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].to;if(dfn[y]==0){Tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);}else if(vis[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);}if(dfn[x]==low[x]){int y;while(y=stk[top--]){which[y]=x;vis[y]=false;if(x==y) break;val[x]+=val[y];}return;}
}
signed main()
{……for(register int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i);for(register int i=1;i<=n;i++)for(register int k=l[i];k;k=e[k].next){int j=e[k].to;if(which[i]!=which[j]) ADD(which[i],which[j]),rd[which[j]]++; }
}

参考文献

lyd《算法竞赛进阶指南》