所谓花，就是如下图所示的一个奇环：

本文中粗边代表现在的匹配边，细边代表该点的前驱（后文会讲解前驱是什么，现在只需要知道每个点和它的前驱在原图中一定是有边的）。

如图所示，一朵包含\(2k+1\)个点的花一定至多包含\(k\)条匹配边，于是总会剩下一个未匹配的点，上图中即为\(1\)号点。

那么我们可以发现，如果有另外一个点想要与花中的某个点\(v\)匹配，那么有两种情况：1、\(v\)是未匹配的点（即1号点），那么直接与\(v\)匹配即可。2、\(v\)是已经匹配的点，这时只要将花中的匹配状况修改，使得\(v\)变成未匹配的那个点即可。

综上所述，只要花中的点没有向外匹配，我们总是可以使得外部的一个点和花中任意一个点匹配，因此花的性质和点其实很相似。我们将花缩成一个点来处理，就可以解决出现奇环的问题。以上思想就是带花树算法的核心。

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带花树算法的过程其实和\(bfs\)版本的匈牙利是很相似的，都是找出一个交错树，交错树可能长这样（注意每个蓝色点可能有多个橙色儿子，但是每个橙色点只能有一个蓝色儿子）：

其中1号点就是我们尝试增广的节点，在这里我们给每一个节点一个\(type\)值，若该点不在交错树中，它的\(type\)值为\(0\)，否则为\(1\)或\(2\)。上图中我们用蓝色点代表\(type=1\)的点，橙色点代表\(type=2\)的点，不难看出\(type\)值的不同其实代表了一种类似于二分图的关系，每个点在交错树中只和\(type\)值不同的点相连。当我们没有找到奇环的时候，\(type\)值和二分图是等价的。

那么仿照匈牙利的过程，我们将尝试增广的点\(v\)的\(type\)值设为\(1\)并开始增广，假设当前处理的点为\(u\)：

1、如果\(type_u=0\)，就代表它不在交错树中：

当\(u\)已经有匹配时，我们就扩展这棵交错树，将\(type_u\)的值设为\(2\)（因为其和\(type\)值为\(1\)的\(v\)相邻），并将\(type_{match_u}\)的值设为\(1\)（同理）。这时我们就可以把\(match_u\)塞进队列里了，如果能够沿着\(match_u\)找到增广路的话我们就可以让\(match_u\)匹配那个增广的点并将\(u\)与\(v\)匹配，这样就使匹配数增加了\(1\)。同时我们将\(u\)的前驱（用\(pre_u\)表示）设置为\(v\)，这是为了方便在找到增广路以后一路返回修改匹配。

当\(u\)并没有匹配时，我们就成功找到了一条增广路，此时沿着由\(pre\)和\(match\)连成的边一路修改就增广完成了，返回。

2、如果\(type_u=2\)，代表你找到了一个偶环，并没有什么用，就跳过这个点。

3、这里是最重点的，如果\(type_u=1\)，代表你找到了一个奇环，这就代表你的\(type\)值不再等价于二分图了，我们这个时候就可以开始“缩花”操作，将我们找到的奇环缩成一个点。让我们具体的考虑一下：

首先，快速找到哪些点在这个奇环中，显然\(u\)和\(v\)一定都出现在交错树上（\(type\)不为\(0\)），结合上面的那张图考虑，奇环的范围就是两个点在交错树上的链中包含的所有点，因此我们需要找到这两个点的\(lca\)，这里直接采用暴力向上跳的做法即可。

找到以后怎么连接\(pre\)边呢？我们参考一下文章开头的结构，可以发现此时的\(lca\)一定就是那个花中唯一的没有匹配或者匹配到外面节点的\(1\)号点。因此感性思考一下，我们应该“诱导”其他所有的点通过\(pre\)和\(match\)边一路走走到\(lca\)上，因此将除了与\(lca\)相连的\(pre\)边外其他的\(pre\)边都改为双向边，并将\(u\)和\(v\)也改成双向边即可达到这个目的。

最后做一点扫尾工作，我们可以通过并查集将奇环缩成一个点（因此在普通增广的时候也要考虑并查集的情况），不妨用\(lca\)做这朵花的代表。同时再考虑一下这个新点的\(type\)值应该设为什么，因为每个橙色点最多只有一个儿子（它的匹配点），因此\(lca\)一定是蓝色点，因此新点的\(type\)值为\(1\)，所以要注意将花中所有\(type\)值为\(2\)的点修改为\(1\)并且加入队列。

当我们找不到新的点时，本次增广失败。

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以上就是一般图最大匹配的增广过程，注意在每次增广之前，\(pre\)，\(type\)以及并查集都是要初始化的。将并查集的复杂度看作常数，则每次增广至多是\(O(m)\)的，一共需要增广\(O(n)\)次，因此带花树算法的复杂度和匈牙利一样，都是\(O(nm)\)，当然，在实践中带花树算法跑得一般会比理论上界快很多。

相信在熟练理解带花树的过程后一定能写出代码，因此为了不对读者造成思维定式影响这里就不贴代码了。完结撒花~