【算法】整数拆分问题

1. 概述

给定一个整数n，将n拆分，问一共有多少种拆分方法。

整数拆分是很经典的问题。也是很经典的 “动态规划” 问题。

问题分析

1 = 12 = 2 = 1 + 13 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 14 = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 15 = 5 = 4 + 1  = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 6 = 6= 5 + 1= 4 + 2= 4 + 1 + 1= 3 + 3= 3 + 2 + 1= 3 + 1 + 1 + 1= 2 + 2 + 2= 2 + 2 + 1 + 1= 2 + 1 + 1 + 1 + 1= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.......

2. 拆分方法

2.1 方法一 —— 递归法

若设f(n, m)表示将n拆分，拆分得到的序列中最大值不超过m。

递归分析

n == 1 或者 m == 1
- n == 1, 即待拆分的n为1，只能拆分为 {1}
- m == 1, 即拆分n得到的序列最大值为1，那么这个拆分得到的序列只能为{1, 1, 1, …, 1}，n个1，只有这1种拆分方法；
其他情况：
- n == m 时，分为两种情况：
  a) 拆分得到的序列包含m，即序列只包含一个n —— {n}，拆分结束；
  b) 拆分得到的序列不包含m，也即后面的拆分过程中拆得的最大整数只可能是m - 1，因此拆分问题可以递归到 f(n, m - 1)；
  综上：n == m时的拆分方案共有：1 + f(n, m - 1)
- n < m 时，拆分的方案共有: f(n, n)
  因为拆分不能拆分出负数出来，拆分得到的最大值只能为n，因此转移到f(n, n)；
- n > m 时
  n > m时的拆分，也分为两种情况：
  a) 拆分得到的序列包含m，那么待拆分的数就为n - m，下一次可以拆分得到的最大值仍为m，因此转移到f(n - m, m);
  b) 拆分得到的序列不包含m，那么待拆分的数还是n，下一次可以拆分得到的最大值变为了m - 1 (本次拆分不包含m，下一次也肯定就不会包含m了)

代码及测试结果

只求出整数拆分情况的总数

package cn.pku.edu.algorithm.leetcode.plus;/*** @author yumu* @date 2022/8/17*/
public class IntegerSplitCount {public int split(int n) {return helper(n, n);}private int helper(int n, int m) {if (n == 1 || m == 1) {return 1;}else {if (n == m) {return 1 + helper(n, m - 1);} else if (n < m) {return helper(n, n);} else {return helper(n - m, m) + helper(n, m - 1);}}}public static void main(String[] args) {IntegerSplitCount integerSplitCount = new IntegerSplitCount();int n = 6;int res = integerSplitCount.split(n);System.out.println(res);}
}

求出所有的整数拆分结果

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;/*** @author yumu* @date 2022/8/16*/
public class IntegerSplit {public List<List<Integer>> split(int n) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();helper(n, n, new ArrayList<>(), res);return res;}private void helper(int n, int m, List<Integer> out, List<List<Integer>> res) {if (n == 1 || m == 1) {if (n == 1) {out.add(1);res.add(new ArrayList<>(out));out.remove(out.size() - 1);} else {for (int i = 1; i <= n; i++) out.add(1);res.add(new ArrayList<>(out));for (int i = 1; i <= n; i++) out.remove(out.size() - 1);}} else {if (n == m) {out.add(m);res.add(new ArrayList<>(out));out.remove(out.size() - 1);helper(n, m - 1, out, res);} else if (n < m) {helper(n, n, out, res);} else {out.add(m);helper(n - m, m, out, res);out.remove(out.size() - 1);helper(n, m - 1, out, res);}}}public static void main(String[] args) {IntegerSplit integerSplit = new IntegerSplit();int n = 6;List<List<Integer>> res = integerSplit.split(n);for (int i = 0; i < res.size(); i++) {System.out.print(n + " = ");List<Integer> out = res.get(i);System.out.print(out.get(0));for (int j = 1; j < out.size(); j++) {System.out.print(" + " + out.get(j));}System.out.println();}}
}

得到的拆分序列如下：

2.2 方法二 —— 动态规划方法

动态规划是在上面递归思路上的优化，减少了重复计算。

设 dp[n][m] 表示将 n 拆分，其中拆分得的最大的数不超过 m；

状态转移分析;

n == 1 或者 m == 1
1. n == 1，只能拆分为{1}，因此 dp[1][m] = 1；
2. m == 1，只能拆分为{1, 1, …, 1}，因此 dp[n][1] = 1；
其他
- n == m 时
  拆分包含m，即只能拆分为 {m}，只有这一种拆分方案；
  拆分不包含m，即之后的拆分最大能拆分得到的整数是m-1，因此转移到了 dp[n][m - 1]；
  综上，n == m时的转移方程为：
  dp[n][m] = 1 + dp[n][m - 1]
- n < m 时
  不可能拆分出负数，因此转移到 dp[n][n]，所以状态转移方程为：
  dp[n][m] = dp[n][n]
- n > m 时，分为两种情况：
  拆分包含m，转移为dp[n - m][m]；
  拆分不包含m，那么后面的拆分得到的最大整数只可能是m - 1，因此转移到 dp[n][m - 1]；
  综上，n < m时的转移方程为：
  dp[n][m] = dp[n - m][n] + d\[n][m - 1]

代码及测试

/*** @author yumu* @date 2022/8/17*/
public class IntegerSplitCount {public int split(int n) {// dp[n][m] 表示对整数n进行拆分，且拆分出的最大整数是m，一共的拆分方案数int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i][1] = 1;  // 拆分得的最大整数是1，那么只能有1种拆分方案dp[1][i] = 1;  // 待拆分的整数是1，那么只能有一种拆分方案}for (int i = 1; i < n + 1; i++) {for (int j = 1; j < n + 1; j++) {if (i == 1 || j == 1) {dp[i][j] = 1;} else {if (i == j) {dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];} else if (i < j) {dp[i][j] = dp[i][i];} else {dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];}}}}return dp[n][n];}public static void main(String[] args) {IntegerSplitCount integerSplitCount = new IntegerSplitCount();int n = 6;int res = integerSplitCount.split(n);System.out.println(res);}
}

若要求出全部的拆分方案，还是只能通过递归方法获取到，动态规划只能获取到方案数。

3. 相关改编问题

从题目中可以看到，需要在完整的整数拆分中出去全部为同一个元素的情况。
因此可以首先除去拆分为全1和拆分为自身的2种情况。
然后，如果n能够被某个整数整除，也需要除去，因为n可以被拆分为全是这个元素。

代码及测试

/*** @author yumu* @date 2022/8/17*/
public class IntegerSplitPlus {public int split(int n) {if (n == 1 || n == 2) return 0;// dp[n][m] 表示对整数n进行拆分，且拆分出的最大整数是m，一共的拆分方案数int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i < n + 1; i++) {for (int j = 1; j < n + 1; j++) {if (i == 1 || j == 1) {dp[i][j] = 1;} else {if (i == j) {dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];} else if (i < j) {dp[i][j] = dp[i][i];} else {dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];}}}}int res = dp[n][n];res -= 2; // 除去全为1和自身的情况// 需要出去全部为同一个元素的情况// 即若n能够被一个小于它的整数整除，那么res就需要减1，因为n可以被拆分成全部为这个整数的情况int temp = (int) Math.sqrt((double) n) + 1;for (int i = 2; i <= temp; i++) {if (n % i == 0) res--;}return res;}public static void main(String[] args) {IntegerSplitPlus integerSplitPlus = new IntegerSplitPlus();for (int n = 1; n <= 6; n++) {int res = integerSplitPlus.split(n);System.out.println(res);}}
}

可以看到，拆分方案数与题目显示的一致。

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