C++循环结构设计—

韩信点兵(hanxin)

相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入包含多组数据，每组数据包含3个整数a,b,c，表示每种队形排尾的人数(a<3,b<5,c<7)，输出总人数的最小值(或报告无解)。已知总人数不小于10，不超过100。输入到文件结束为止。

样例输入：

2 1 6

2 1 3

样例输出：

Case 1： 41

Case 2： No answer

方法一：已知总人数不小于10，不超过100，则在此范围内使用for循环依次检验总人数所排队型是否满足队尾人数。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;int main()
{int sum=0,a,b,c;int kcase=1;while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)==3){for(sum=10;sum<=100;sum++){if(sum%3==a&&sum%5==b&&sum%7==c){printf("Case %d: %d\n",kcase++,sum);break;}}if(sum==101){kcase++;printf("No answer\n");}}return 0;
}

方法二：中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子剩余定理，古有"韩信点兵"、"孙子定理"、"鬼谷算"、"隔墙算"、"剪管术"、"秦王暗点兵"、"物不知数"之名，是数论中的一个重要命题。

在中国古代著名数学著作《孙子算经》中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

这个解法实际上是，首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出

5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余1的最小一个为70（这个称为35相对于3的数论倒数），

3和7的最小公倍数21（除以5余1）相对于5的数论倒数21，

3和5的最小公倍数15（除以7余1）相对于7的数论倒数15。

然后70×2+21×3+15×2=233，233便是可能的解之一。

它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23。

附注：这个解法并非最简，因为实际上35就符合除3余2的特性，所以最小解是：35×1+21×3+15×2-3×5×7=128-105=23

最小解加上105(=3×5×7)的正整数倍都是解

物不知数”的解法实际上给出了求解一般同余方程组的方法。

设m1，m2，…，mi为两两互质的正整数，a1，a2，…，ak为任意整数，则同余方程组：

x≡a1(mod m1)；

x≡a2(mod m2)；

……

x≡ai(mod mi)；

总有整数解，并且它的全部解可模仿上述方法得到。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;int main()
{int a,b,c;int kcase=1;while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&c)!=EOF){int s = a*70+b*21+c*15;s%=(3*5*7);if(s>100||s<10){kcase++;printf("No answer\n");}else{printf("Case %d: %d\n",kcase++,s);}}return 0;
}

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