「题解」agc031_e Snuke the Phantom Thief

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题目

题目链接：洛谷 AT4695、AtCoder agc031_e。

题意简述

在二维平面上，有 nnn 颗珠宝，第 iii 颗珠宝在 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi) 的位置，价值为 viv_ivi。

现在有一个盗贼想要偷这些珠宝。

现在给出 mmm 个限制约束偷的珠宝，约束有以下四种：

横坐标小于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗。
横坐标大于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗。
纵坐标小于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗。
纵坐标大于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗。

现在问你在满足这些约束的条件下，盗贼偷的珠宝的最大价值和是多少。

题解

约束与转化

这个约束有点难办，似乎并没有可能对其进行动态规划，因此我们考虑额外添加信息。

我们添加什么信息呢？考虑到限制是有关珠宝数量的，我们决定添加一个 偷珠宝的总数 的信息。

设偷珠宝 kkk 颗，并且珠宝按照的横坐标排序被偷的顺序编号为 1∼k1\sim k1∼k，那么前两种限制条件转化如下：

横坐标小于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗：
若一个珠宝的编号 id∈[bi+1,k]\texttt{id}\in[b_i+1,k]id∈[bi+1,k]，那么一定有 xid>aix_{\texttt{id}}>a_ixid>ai。
横坐标大于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗：
若一个珠宝的编号 id∈[1,k−bi]\texttt{id}\in[1,k-b_i]id∈[1,k−bi]，那么一定有 xid<aix_{\texttt{id}}<a_ixid<ai。

同理，我们可以得出珠宝按照的纵坐标排序被偷的顺序编号为 1∼k1\sim k1∼k，那么后两种限制条件转化如下：

纵坐标小于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗：
若一个珠宝的编号 id∈[bi+1,k]\texttt{id}\in[b_i+1,k]id∈[bi+1,k]，那么一定有 yid>aiy_{\texttt{id}}>a_iyid>ai。
纵坐标大于等于 aia_iai 的珠宝最多偷 bib_ibi 颗：
若一个珠宝的编号 id∈[1,k−bi]\texttt{id}\in[1,k-b_i]id∈[1,k−bi]，那么一定有 yid<aiy_{\texttt{id}}<a_iyid<ai。

因此，我们得出，一个珠宝想要在按横坐标排序为第 iii，纵坐标排序为第 jjj 时被偷，需要满足的坐标范围。

化腐朽为神奇的网络流

考虑上面的条件也不是很好动态规划，我们需要想到一种化腐朽为神奇的算法——网络流。

由于这个题目有多个互不相关的限制：

珠宝不能同时被偷两次及以上；
偷的珠宝价值要最大化；

我们考虑运用费用流建立网络流模型。

因为我们要限制横坐标，所以必须要有 kkk 个横坐标的限制，对应 s→p1∼ks\to p_{1\sim k}s→p1∼k，流量为 111，费用为 000。。

因为我们要限制纵坐标，所以必须要有 kkk 个纵坐标的限制，对应 q1∼k→tq_{1\sim k}\to tq1∼k→t，流量为 111，费用为 000。

因为我们要限制一个点不能被选择多次，所以我们需要拆点限流，对应 a1∼n→b1∼na_{1\sim n}\to b_{1\sim n}a1∼n→b1∼n，流量为 111，费用为 viv_ivi。

考虑到我们上面需要满足的限制，按照限制加边 pi→ajp_i\to a_jpi→aj 和 bj→qib_j\to q_ibj→qi 即可，流量为 111，费用为 000。

如果上面的语言有点抽象，我们不妨画图理解。

整个建图如上所示，点数为 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)，边数 Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(void){reg char ch=getchar();reg int res=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();return res;
}inline ll readll(void){reg char ch=getchar();reg ll res=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();return res;
}inline int max(reg int a,reg int b){return a>b?a:b;
}inline int min(reg int a,reg int b){return a<b?a:b;
}inline ll max(reg ll a,reg ll b){return a>b?a:b;
}const int MAXN=80+5;
const int MAXM=320+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;namespace Network{const int MAXV=4*MAXN;const int MAXE=(MAXN*MAXN*2+3*MAXN)*2;const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;int cnt,head[MAXV],to[MAXE],w[MAXE],Next[MAXE];ll p[MAXE];inline void Add_Edge(reg int u,reg int v,reg int len,reg ll val){Next[++cnt]=head[u];to[cnt]=v,w[cnt]=len,p[cnt]=val;head[u]=cnt;return;}inline void Add_Tube(reg int u,reg int v,reg int len,reg ll val){Add_Edge(u,v,len,val);Add_Edge(v,u,0,-val);return;}bool inque[MAXV];int cur[MAXV];ll dis[MAXV];queue<int> Q;inline bool spfa(int s,reg int t){fill(dis+s,dis+t+1,inf);inque[s]=true,dis[s]=0,Q.push(s);while(!Q.empty()){reg int u=Q.front();Q.pop();inque[u]=false;cur[u]=head[u];for(reg int i=head[u];i;i=Next[i]){int v=to[i];if(dis[v]>dis[u]+p[i]&&w[i]){dis[v]=dis[u]+p[i];if(!inque[v]){inque[v]=true;Q.push(v);}}}}return dis[t]!=inf;}bool vis[MAXV];inline int dfs(reg int u,reg int t,reg ll lim){if(u==t)return lim;vis[u]=true;reg int flow=0;for(reg int &i=cur[u];i;i=Next[i]){reg int v=to[i];if(dis[v]==dis[u]+p[i]&&w[i]&&!vis[v]){reg int f=dfs(v,t,min(lim-flow,w[i]));if(f){flow+=f;w[i]-=f,w[i^1]+=f;if(flow==lim)break;}}}vis[u]=false;return flow;}inline pair<int,ll> dinic(reg int s,reg int t){int res=0;ll cost=0;while(spfa(s,t)){reg int flow=dfs(s,t,inf);res+=flow,cost+=flow*dis[t];}return make_pair(res,cost);}inline void init(reg int s,reg int t){cnt=1,fill(head+s,head+t+1,0);return;}
}struct Point{int x,y;ll v;
};struct Limits{char ch;int a,b;
};struct Interval{int l,r;inline Interval(reg int l=0,reg int r=0):l(l),r(r){return;}inline bool in(reg int x)const{return l<=x&&x<=r;}
};inline Interval cap(const Interval& a,const Interval& b){return Interval(max(a.l,b.l),min(a.r,b.r));
}int n,m;
Point a[MAXN];
Limits b[MAXM];int main(void){n=read();for(reg int i=1;i<=n;++i)a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].v=readll();m=read();for(reg int i=1;i<=m;++i){dob[i].ch=getchar();while(!isalpha(b[i].ch));b[i].a=read(),b[i].b=read();}reg ll ans=0;for(reg int k=1;k<=n;++k){static Interval invx[MAXN],invy[MAXN];fill(invx+1,invx+k+1,Interval(-inf,inf));fill(invy+1,invy+k+1,Interval(-inf,inf));for(reg int i=1;i<=m;++i){switch(b[i].ch){case 'L':{for(reg int j=b[i].b+1;j<=k;++j)invx[j]=cap(invx[j],Interval(b[i].a+1,inf));break;}case 'R':{for(reg int j=1;j<=k-b[i].b;++j)invx[j]=cap(invx[j],Interval(-inf,b[i].a-1));break;}case 'D':{for(reg int j=b[i].b+1;j<=k;++j)invy[j]=cap(invy[j],Interval(b[i].a+1,inf));break;}case 'U':{for(reg int j=1;j<=k-b[i].b;++j)invy[j]=cap(invy[j],Interval(-inf,b[i].a-1));break;}}}reg int s=0,t=2*k+2*n+1;Network::init(s,t);for(reg int i=1;i<=k;++i){Network::Add_Tube(s,i,1,0);Network::Add_Tube(k+n+n+i,t,1,0);}for(reg int i=1;i<=n;++i)Network::Add_Tube(k+i,k+n+i,1,-a[i].v);for(reg int i=1;i<=k;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j){if(invx[i].in(a[j].x))Network::Add_Tube(i,k+j,1,0);if(invy[i].in(a[j].y))Network::Add_Tube(k+n+j,k+n+n+i,1,0);}pair<int,ll> res=Network::dinic(s,t);if(res.first==k)ans=max(ans,-res.second);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}