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分治思想和递归表达式

大整数乘法

矩阵乘法的Strassen算法

快速傅里叶变化

基于分治的排序

merge-sort排序

快速排序

排序的下界问题

中位数和顺序统计量

最邻近点对

凸包

Notes

## 分治思想和递归表达式

【分治思想】算法

将一个问题分解为与原问题类似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，而后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：编程

divide(分解)：将问题划分为若干个子问题

conquer(求解)：递归地解这些子问题；若子问题Size足够小，则直接解决之

Combine(组合)：将子问题的解组合成原问题的解

【分治递归表达式】数组

设T(n)是Size为n的执行时间，若Size足够小，如n ≤ C (常数)，则直接求解的时间为θ(1)

①设完成划分的时间为D(n)

②设分解时，划分为a个子问题，每一个子问题为原问题的1/b，则解各子问题的时间为aT(n/b)

③设组合时间C(n)

则有递归方程总结为：

T(n)=θ(1) if n

T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c

技术细节(注意)：

在声明、求解递归式时，经常忽略向上取整、向下取整、边界条件

边界条件可忽略,这些细节通常只影响常数因子的大小，不改变量级。求解时，先忽略细节，而后再决定其是否重要！

## 大整数乘法

*********优化划分阶段，下降T(n)=aT(n/b) + f(n) 中的 a*********ide

这里咱们假设有两个大整数X、Y，分别设X=123四、Y=5678。如今要求X*Y的乘积，小学的算法就是把X与Y中的每一项去乘，可是这样的乘法所需的时间复杂度为O(n^2)，效率低下，咱们能够尝试使用分治来解决。函数

XY = (A2n/2 + B)(C2n/2 + D)优化

= AC2n + (AD+BC)2n/2 + BDui

= AC2n + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2n/2 + BDidea

算法分析：

首先将X和Y分红A，B，C，D

此时将X和Y的乘积转化为上述式子，把问题转化为求解式子的值

此时递归式为 T(n)=4T(n/2)+θ(n)

算法复杂度T(n)=θ(n2)

继续优化： AD+BC=(B-A)(C-D)+AC+BD

算法过程：

划分产生A,B,C,D;

计算 B-A 和 C-D；

计算 n/2 位乘法 AC、BD、(B-A)(C-D)；

计算 (B-A)(C-D) + AC + BD；

AC左移n位，((B-A)(C-D) + AC + BD) 左移n/2位；

计算XY

递推式：

T(n)=θ(1)               　　  if n=1

T(n)=3T(n/2)+O(n)          if n>1

算法复杂度：          T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)

## 矩阵乘法的Strassen算法

【矩阵相乘的朴素算法 T(n) = Θ(n3)】spa

朴素矩阵相乘算法，思想明了，编程实现简单。时间复杂度是Θ(n^3)。伪码以下3d

1 for i ← 1to n2 do for j ← 1to n3 do c[i][j] ← 0

4 for k ← 1to n5 do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]

【矩阵相乘的strassen算法 T(n)=Θ(nlog7) =Θ (n2.81)】

通常算法须要八次乘法，四次加法；算法效率是Θ(n^3)；

鉴于上面的分治法方案没法有效提升算法的效率，要想提升算法效率，由主定理方法可知必须想办法将2中递归式中的系数8减小。Strassen提出了一种将系数减小到7的分治法方案，以下图所示。

咱们能够看到上面只有7次乘法和屡次加减法，最终达到下降复杂度为O( nlg7 ) ~= O( n2.81 );

SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)

n=A.rows

let C be anew n*n matrixif n==1c11=a11*b11else partition A, B and C as in equation(1)

C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)

C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)

C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)

C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B22) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)return C

## 快速傅里叶变换(FFT)

问题定义：

算法思想：

伪代码：

递归方程：

算法复杂度：   T(n) = θ(n logn)

## 基于分治的排序

【归并排序】

归并排序是分治思想的典型应用，

划分策略：根据中间点将数组集合划分红两部分，不断递归

合并策略：比较a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；不然将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，而后再将另外一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。

MergeSort(A,i,j)

Input: A[i,…,j]

Output:排序后的A[i,…,j]1. k ← (i+j)/2;2. MergeSort(A,i,k);3. MergeSort(A,k+1,j);4. l←i; h ← k+1; t=i; //设置指针

5. While l≤k & h

9. For v ←l To k Do10. B[t] ← A[v]; t ← t+1;11. IF h

12. For v ←h To j Do13. B[t] ← A[v]; t ← t+1;14. For v ← i To j Do //将归并后的数据复制到A中

15. A[v] ← B[v]；

复杂度分析： T(n)=2T(n/2)+O(n)　　T(n)=O(nlogn)

复习：归并排序具备以下特色：

归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，这是基于比较的排序算法所能达到的最高境界；

归并排序是一种稳定的算法，这一点在某些场景下相当重要；

归并排序是最经常使用的外部排序方法(当待排序的记录放在外存上，内存装不下所有数据时，归并排序仍然适用，固然归并排序一样适用于内部排序...)；

但其也须要O(n)的辅助空间，而与之效率相同的快排和堆排分别须要O(logn)和O(1)的辅助空间，在同类算法中归并排序的空间复杂度略高

【快速排序】

划分策略：选取一个记录做为枢轴，通过一趟排序，将整段序列分为两个部分，其中一部分的值都小于枢轴，另外一部分都大于枢轴。

递归策略：而后继续对这两部分继续进行排序，从而使整个序列达到有序。

合并策略：无操做

QuickSort(A,i,j)

Input: A[i,…,j], x

Output: 排序后的A[i,…,j]1. temp←rand(i,j); //产生i，j之间的随机数

2. x ← A[temp]; //以肯定的策略选择x

3. k=partition(A,i,j,x); //用x完成划分

4. QuickSort(A,i,k); //递归求解子问题

5. QuickSort(A,k+1,j);

Partition(A,i,j,x)

1. low←i ; high ←j;

2. While( low< high ) Do

3.     swap(A[low], A[high]);

4. While( A[low] < x ) Do

5.     low←low+1;

6. While( A[low] < x ) Do

7.     high←high-1;

8. return(high)

平均、最优的时间复杂度为O(nlogn)，最差的时间复杂度为O(n^2)

平均的空间复杂度为O(logn)，最差的空间复杂度为O(n)

排序的下界是：Ω(n log n)

## 中位数和顺序统计量

【最大值最小值】

算法MaxMin(A)

输入: 数组A[i,…,j]

输出:数组A[i,…,j]中的max和min1. If j-i+1 =1Then 输出A[i],A[i],算法结束2. If j-i+1 =2Then3. If A[i]

5. m1,M1 ←MaxMin(A[i:k]);6. m2,M2 ←MaxMin(A[k+1:j]);7. m ←min(m1,m2);8. M ←max(M1,M2);9. 输出m,M

时间复杂度分析：T(n) = 3n/2 - 2

因此时间复杂度为：O( ⌊3n/2⌋ )

【中位数的线性时间选择算法】

这种算法在最坏的状况下的时间复杂度为O(n)，其具体过程以下：

将输入数组划分为n/5组，每组有5个元素，且剩下的至多有一组的元素小于5个。

寻找这n/5个组中每一个组的中位数，能够将每组作一次排序，而后选取每组的第三个元素。

对于第2部找出的n/5个中位数递归的调用Select函数求出其中位数x.(约定偶数个中位数为其较小的中位数)

按照找到的中位数x将数组划分为两个部分，求得小于或者等于x的元素有q个

若是k==q则返回x,若k

Input: 数组A[1:n], 1≤i≤n

Output: A[1:n]中的第i-大的数1. for j←1 to n/5

2. InsertSort(A[(j-1)*5+1 : (j-1)*5+5]);3. swap(A[j], A[[(j-1)*5+3]);4. x ←Select(A[1: n/5], n/10);5. k ←partition(A[1:n], x);6. if k=i then returnx;7. else if k>i then retrun Select(A[1:k-1],i);8. else retrun Select(A[k+1:n],i-k);

递归方程式：T(n) ≤ T( ⌈n/5⌉ ) +T(7n/10+6) + O(n)

时间复杂度：T(n) = O(n)

## 最邻近点对

输入：Euclidean空间上的n个点的集合Q

输出：P1, P2∈Q,    Dis(P1, P2)=Min{Dis(X, Y) | X, Y∈Q}

算法过程：

若是Q中仅包含一个点，则算法结束；

把Q中点分别按x-坐标值和y-坐标值排序.

划分：

计算Q中各点x-坐标的中位数m；

用垂线 L:x=m 把Q划分红两个大小相等的子集合QL 和QR， QL中点在L左边, QR 中点在L右边.

求解：

递归地在QL、QR中找出最接近点对:(p1, p2)∈QL , (q1, q2)∈QR

d=min{Dis(p1, p2), Dis(q1, q2)};

合并：

在临界区查找距离小于d的点对(pl, qr), pl∈QL,qr∈QR;

若是找到，则(pl, qr)是Q中最接近点对，不然(p1, p2)和(q1, q2) 中距离最小者为Q中最接近点对

时间复杂度：

Divide阶段须要O(n)时间

Conquer阶段须要2T(n/2)时间

Merge阶段须要O(n)时间

递归方程

T(n)= O(1) 　　              n = 2

T(n) = 2T(n/2) + O(n)      n ≥ 3

用Master定理求解T(n)

T(n) = O(nlogn)

## 凸包