开始之前，需要了解一下傅立叶变换和卷积之间的关系:

公式中：xt,ytx_t,y_txt,yt分别为随时间变化的信号，假设xt=sin(t),yt=cos(t)x_t=sin(t), y_t=cos(t)xt=sin(t),yt=cos(t)。xtx_txt和yty_tyt的卷积，可以看做一个新的关于ttt的函数。因此其傅立叶变换也是一个关于频率fff的函数。
F(xt)=X(f)\mathcal{F}(x_t)=X(f)F(xt)=X(f)
F(yt)=Y(f)\mathcal{F}(y_t)=Y(f)F(yt)=Y(f)
从上推导过程可以看出来，两个函数的卷积可以看做两个函数在傅立叶域的积，X(f)X(f)X(f)和Y(f)Y(f)Y(f)分别为两个关于频率fff的函数，因此直接相乘即可。

最后，可以看出

x(t)∗y(t)=F−1(X(f)Y(f))x(t)*y(t)=\mathcal{F}^{-1}(X(f)Y(f))x(t)∗y(t)=F−1(X(f)Y(f))

本文¹在MOSSE²的基础上，引入了Dense Sampling的采样方法和核函数。

接下来按照论文的顺序进行分析

摘要

主要介绍了创新点的来源

1.介绍

这部分介绍了目标跟踪的相关研究内容，主要提出了Dense Sampling。

这是论文中的稠密采样（本文中提及的Dense Sampling）和随机采样的比较，随机采样是在target的附近随机的采集p个子框。稠密采样是采集所有的子框用来训练。那么稠密采样就带来了如何数据量大的问题，这将导致计算量大的问题，为了解决这个问题，本文将相关滤波的过程放在了傅立叶空间中进行计算，并且引入了核函数。这使得稠密采样的速度遥遥领先于随机采样。
随机采样的代码可以在MOSSE的代码³中发现，下面是随机采样的代码

def _rand_warp(self,img):'''该函数对第一帧的目标框进行随机重定位，刚性形变，减轻漂移。'''h, w = img.shape[:2]C = .1ang = np.random.uniform(-C, C). # 生成一个随机数c, s = np.cos(ang), np.sin(ang)# 根据随机数生成一个随机的仿射变换矩阵W = np.array([[c + np.random.uniform(-C, C), -s + np.random.uniform(-C, C), 0],[s + np.random.uniform(-C, C), c + np.random.uniform(-C, C), 0]])center_warp = np.array([[w / 2], [h / 2]])tmp = np.sum(W[:, :2], axis=1).reshape((2, 1))W[:, 2:] = center_warp - center_warp * tmpwarped = cv2.warpAffine(img, W, (w, h), cv2.BORDER_REFLECT)return warped

2. 稠密采样的学习

2.1 正则化风险最小值

这部分使用了核函数，参考核技巧(Kernel trick)解析
和【从入门到放弃】线性回归

2.2 循环矩阵

2.3 稠密采样的核矩阵

Exploiting the Circulant Structure of Tracking-by-detection with Kernels ↩︎
Visual Object Tracking using Adaptive Correlation Filters ↩︎
MOSSE算法的源码 ↩︎

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