高等数学笔记-苏德矿

第十章曲线积分和曲面积分

第七节高斯公式与斯托克斯公式

一、基本概念

01 右手法则

伸出右手，使四指与边界曲线 LLL 的方向一致，如果此时

大拇指的方向恰好与曲面 Σ\SigmaΣ 的法方向一致，称它们是符合右手法则的。

02 线单连通区域

设 Ω⊂R3\Omega\subset R^3Ω⊂R3 是一个空间立体，对于 Ω\OmegaΩ 中任意封闭曲线 LLL，不越过立体 Ω\OmegaΩ 的边界曲面连续，

收缩为 Ω\OmegaΩ 中的一点，称 Ω\OmegaΩ 为线单连通区域。

03 面单连通区域

设 Ω⊂R3\Omega\subset R^3Ω⊂R3 是一个空间立体，对于 Ω\OmegaΩ 中任意封闭曲面 Σ\SigmaΣ，不越过立体 Ω\OmegaΩ 的边界曲面连续，

收缩为 Ω\OmegaΩ 中的一点，称 Ω\OmegaΩ 为面单连通区域。

比如厚球壳形状的立体是线单连通区域，不是面单连通区域。

二、高斯公式

设有界闭区域立体 Ω⊂R3\Omega\subset R^3Ω⊂R3 的边界曲面是分片光滑曲线 Σ\SigmaΣ 指向外侧，若 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 在 Ω\OmegaΩ ( 包括 Σ\SigmaΣ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数，则
∯Σ外Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint\limits_{\Sigma_{外}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV Σ外∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
A⃗(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，dS⃗={dydz,dzdx,dxdy}d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\}dS={dydz,dzdx,dxdy} 。

高斯公式可以写成：∯Σ外A⃗⋅dS⃗=∭ΩdivA⃗dV\displaystyle{ \oiint\limits_{\Sigma_{外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\vec{A}dV }%Σ外∬A⋅dS=Ω∭divAdV 。

三、散度与旋度

01 散度

(1) 散度的概念

记 ∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=divA⃗\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\mathrm{div}\vec{A} }%∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=divA ，称 A⃗(x,y,z)\vec{A}(x,y,z)A(x,y,z) 在点 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 处的散度。
divA⃗(x0,y0,z0)=∂P∂x∣(x0,y0,z0)+∂Q∂y∣(x0,y0,z0)+∂R∂z∣(x0,y0,z0)=divA⃗∣(x0,y0,z0)\mathrm{div}\vec{A}(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial P}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial R}{\partial z}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)} =\mathrm{div}\vec{A}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)} divA(x0,y0,z0)=∂x∂P∣∣∣(x0,y0,z0)+∂y∂Q∣∣∣(x0,y0,z0)+∂z∂R∣∣∣(x0,y0,z0)=divA∣∣∣(x0,y0,z0)

(2) 散度的意义

∀M0(x0,y0,z0)∈Ω\forall\ M_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega∀ M0(x0,y0,z0)∈Ω，取一个小立体 VVV，使 M0∈V⊂ΩM_0\in V\subset\OmegaM0∈V⊂Ω，VVV 的边界曲面为分片光滑曲面 Σ1\Sigma_1Σ1，

∯Σ外A⃗⋅dS⃗=∭ΩdivA⃗dV=divA⃗∣M∗⋅V,M∗∈V\displaystyle{ \oiint\limits_{\Sigma_{外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\vec{A}dV=\mathrm{div}\vec{A}|_{M^*}\cdot V\ ,\ M^*\in V }%Σ外∬A⋅dS=Ω∭divAdV=divA∣M∗⋅V , M∗∈V，等式变形得：divA⃗∣M∗=∯Σ1外A⃗⋅dS⃗V\displaystyle{ \mathrm{div}\vec{A}|_{M^*}=\frac{\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V} }%divA∣M∗=VΣ1外∬A⋅dS .

等式右侧，即 ∯Σ1外A⃗⋅dS⃗V\displaystyle{\frac{\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}}%VΣ1外∬A⋅dS 称为流量 QQQ 对体积 VVV 的平均变化率。

令 V→M0V\rightarrow M_0V→M0，则有 M∗→M0M^*\rightarrow M_0M∗→M0，lim⁡V→M0divA⃗∣M∗=lim⁡V→M0∯Σ1外A⃗⋅dS⃗V\displaystyle{\lim\limits_{V\rightarrow M_0}\mathrm{div}\vec{A}|_{M^*}=\lim\limits_{V\rightarrow M_0}\frac{\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}}%V→M0limdivA∣M∗=V→M0limVΣ1外∬A⋅dS ，两侧取极限，得：

divA⃗∣M0=lim⁡V→M0∯Σ1外A⃗⋅dS⃗V\displaystyle{\mathrm{div}\vec{A}|_{M^0}=\lim\limits_{V\rightarrow M_0}\frac{\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}}%divA∣M0=V→M0limVΣ1外∬A⋅dS ，此时等式右边称为在 M0M_0M0 处流量 QQQ 对体积 VVV 的变化率，即 divA⃗∣M0\mathrm{div}\vec{A}|_{M^0}divA∣M0 。

当 divA⃗∣M0>0\mathrm{div}\vec{A}|_{M^0}>0divA∣M0>0 ，称 M0M_0M0 为流体的源；当 divA⃗∣M0<0\mathrm{div}\vec{A}|_{M^0}<0divA∣M0<0 ，称 M0M_0M0 为流体的汇；

当 divA⃗∣M0=0\mathrm{div}\vec{A}|_{M^0}=0divA∣M0=0 ，称 M0M_0M0 既不源也无汇。

(3) 散度的线性运算法则

线性运算法则：若 A⃗(x,y,z),B⃗(x,y,z)\vec{A}(x,y,z)\ , \ \vec{B}(x,y,z)A(x,y,z) , B(x,y,z) 的分量偏导数均存在，α,β\alpha\ ,\ \betaα , β 为常数，

则 div(αA⃗+βB⃗)=αdivA⃗+βdivB⃗\mathrm{div}(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B})=\alpha\mathrm{div}\vec{A}+\beta \mathrm{div}\vec{B}div(αA+βB)=αdivA+βdivB 。

02 旋度

(1) 旋度的概念

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\displaystyle{\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy}%∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy

曲面 Σ\SigmaΣ 的方向与边界曲线 LLL 的方向符合右手系。

A⃗(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，

ds⃗={dx,dy,dz}d\vec{s}=\{dx,dy,dz\}ds={dx,dy,dz}，dS⃗={dydz,dzdx,dxdy}d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\}dS={dydz,dzdx,dxdy} 。

{∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y}=△rotA⃗\displaystyle{\left\{\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right\}\stackrel{\triangle}{=}rot\vec{A}}%{∂y∂R−∂z∂Q,∂z∂P−∂x∂R,∂x∂Q−∂y∂P}=△rotA ，称 A⃗(x,y,z)\vec{A}(x,y,z)A(x,y,z) 在点 M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z) 处的旋度。
rotA⃗∣(x0,y0,z0)={(∂R∂y−∂Q∂z)∣(x0,y0,z0)+(∂P∂z−∂R∂x)∣(x0,y0,z0)+(∂Q∂x−∂P∂y)∣(x0,y0,z0)}rot\vec{A}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}=\left\{ (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+ (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+ (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\Big|_{(x_0,y_0,z_0)} \right\} rotA∣∣∣(x0,y0,z0)={(∂y∂R−∂z∂Q)∣∣∣(x0,y0,z0)+(∂z∂P−∂x∂R)∣∣∣(x0,y0,z0)+(∂x∂Q−∂y∂P)∣∣∣(x0,y0,z0)}

(3) 旋度的线性运算法则

线性运算法则：若 A⃗(x,y,z),B⃗(x,y,z)\vec{A}(x,y,z)\ , \ \vec{B}(x,y,z)A(x,y,z) , B(x,y,z) 的分量偏导数均存在，α,β\alpha\ ,\ \betaα , β 为常数，

则 rot(αA⃗+βB⃗)=αrotA⃗+βrotB⃗\mathrm{rot}(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B})=\alpha\mathrm{rot}\vec{A}+\beta \mathrm{rot}\vec{B}rot(αA+βB)=αrotA+βrotB 。

四、第二类曲面积分的类型

(1) ∯Σ外P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy\oiint\limits_{\Sigma_{外}}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyΣ外∬P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy

① 能用高斯公式就用高斯公式，化成三重积分容易计算。

② Σ\SigmaΣ 包围的内部有洞（ PPP 或 QQQ 或 RRR 在洞上没有定义，称为”洞“ ）

如果在洞的外部 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 偏导数均连续且 divA⃗≡0\mathrm{div}\vec{A}\equiv0divA≡0，则

∯Σ外Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∯Σ1外Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\oiint\limits_{\Sigma_{外}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}Pdydz+Qdzdx+RdxdyΣ外∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Σ1外∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy .

( 注意，Σ,Σ1\Sigma\ , \ \Sigma_1Σ , Σ1 包围同一些”洞“，且同侧。)

Σ1\Sigma_1Σ1 的选择：

一般选择被积函数中分母表达式等于常数的封闭曲面 Σ1\Sigma_1Σ1，且 Σ,Σ1\Sigma\ , \ \Sigma_1Σ , Σ1 包围同一些洞，同方向。

满足定理条件，化为 Σ1\Sigma_1Σ1 上的第二类曲面积分，分母化简为常数，化简后 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 偏导数处处连续，用高斯公式。

③ 直接计算，化成二重积分。

④ 化成第一类曲面积分计算，把 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos\alpha\ , \ \cos\beta\ , \ \cos\gammacosα , cosβ , cosγ 求出来用 x,y,zx , y , zx,y,z 表达式表示。

(2) ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+RdxdyΣ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+RdxdyΣ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，其中 Σ\SigmaΣ 为非封闭曲面。

① 原式 =∯Σ+Σ1−∬Σ1=\oiint_{\Sigma+\Sigma_1}-\iint_{\Sigma_1}=∬Σ+Σ1−∬Σ1 ，其中 Σ1\Sigma_1Σ1 为简单曲面，一般为平面块，前者用高斯公式，后者直接计算。

② 直接计算，化成二重积分容易计算。

③ 化成第一类曲面积分。

五、斯托克斯公式

若 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 在分片光滑曲面 Σ\SigmaΣ ( 包括边界分段光滑曲线 LLL ) 连续且具有连续的偏导数，

则 ∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\displaystyle{\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy}%∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy

（ =∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=\displaystyle{ \left|\begin{array}{ll} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| }=∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣ ，按第一行展开。）

曲面 Σ\SigmaΣ 的方向与边界曲线 LLL 的方向符合右手法则。

注：以 LLL 为边界的曲面 Σ\SigmaΣ 有无数个，选择简单的曲面，最好选择平面 Σ\SigmaΣ 。

引入旋度的概念后，斯托克斯公式也可写为：∮LA⃗⋅ds⃗=rotA⃗⋅S⃗\displaystyle{ \oint_{L}\vec{A}\cdot d\vec{s}=\mathrm{rot}\vec{A}\cdot\vec{S} }%∮LA⋅ds=rotA⋅S .

六、空间曲线积分与路径无关的条件

空间第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件

设 Ω\OmegaΩ 是空间的一个线单连通的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 Ω\OmegaΩ 中的任意封闭曲线 LLL 上的第二类曲线积分为 000，即 ∮LPdx+Qdy+Rdz=0\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz=0∮LPdx+Qdy+Rdz=0

(2) 对 Ω\OmegaΩ 中的任意两个非封闭曲线 ΓACB,ΓADB\Gamma_{ACB} \ , \ \Gamma_{ADB}ΓACB , ΓADB，

有 ∫ΓACBPdx+Qdy+Rdz=∫ΓADBPdx+Qdy+Rdz\displaystyle{ \int_{\Gamma_{ACB}}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{\Gamma_{ADB}}Pdx+Qdy+Rdz }%∫ΓACBPdx+Qdy+Rdz=∫ΓADBPdx+Qdy+Rdz ，

即 Ω\OmegaΩ 中非封闭曲线上的第二类曲线积分只与起点和终点有关，与 Ω\OmegaΩ 中的路径无关。

(3) 存在 Ω\OmegaΩ 上的一个三元函数 u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z) ，使 du=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz，

即 ∂u∂x=P,∂u∂y=Q,∂u∂z=R\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=P\ , \ \frac{\partial u}{\partial y}=Q\ , \ \frac{\partial u}{\partial z}=R }%∂x∂u=P , ∂y∂u=Q , ∂z∂u=R，称 uuu 是 Pdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+Rdz 的一个原函数。

(4) ∂Q∂x≡∂P∂y,∂R∂y≡∂Q∂z,∂P∂z≡∂R∂x\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y}\ , \ \frac{\partial R}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial z}\ , \ \frac{\partial P}{\partial z}\equiv\frac{\partial R}{\partial x} }%∂x∂Q≡∂y∂P , ∂y∂R≡∂z∂Q , ∂z∂P≡∂x∂R，即 rotA⃗≡0,(x,y,z)∈Ω\mathrm{rot}\vec{A}\equiv0\ , \ (x,y,z)\in\OmegarotA≡0 , (x,y,z)∈Ω .

七、空间第二类曲线积分的类型

(1) ∮LPdx+Qdy+Rdz\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz∮LPdx+Qdy+Rdz

① 能直接计算就直接计算，

L:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)L:\ \begin{cases}\ x=x(t) \\ \ y=y(t) \\ \ z=z(t)\end{cases}L: ⎩⎪⎨⎪⎧ x=x(t) y=y(t) z=z(t) ，找出起点对应的参数 t0t_0t0，找出终点对应的参数 t1t_1t1 。化成参数的定积分。

② 斯托克斯公式。

(2) ∫ΓABPdx+Qdy+Rdz\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz∫ΓABPdx+Qdy+Rdz

① 能直接计算就直接计算，

ΓAB:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\Gamma_{AB}:\ \begin{cases}\ x=x(t) \\ \ y=y(t) \\ \ z=z(t)\end{cases}ΓAB: ⎩⎪⎨⎪⎧ x=x(t) y=y(t) z=z(t) 找出起点 AAA 对应的参数 tAt_AtA，找出终点 BBB 对应的参数 tBt_BtB 。化成参数的定积分。

② 曲线积分的牛顿-莱布尼兹公式。

若找到 u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)，使 du=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz，

∫ΓABPdx+Qdy+Rdz=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)du=u(x,y,z)∣A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)\displaystyle{ \int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}du=u(x,y,z)\Big|_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)} }∫ΓABPdx+Qdy+Rdz=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)du=u(x,y,z)∣∣∣A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)

∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz\displaystyle{ \int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz }%∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz

③ 找到线单连通 Ω\OmegaΩ 使 ΓAB⊂Ω\Gamma_{AB}\subset\OmegaΓAB⊂Ω，有 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 偏导数连续，且 rotA⃗≡0\mathrm{rot}\vec{A}\equiv0rotA≡0，知与路径无关。

∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\displaystyle{ \int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz }%∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz\displaystyle{ =\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz }%=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz

将 x1x_1x1 换成 xxx，同理有：

u(x,y,z)=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz+C\displaystyle{ u(x,y,z)=\int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz+C }%u(x,y,z)=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz+C （与路径无关）

=∫x0xP(x,y0,z0)dx+∫y0yQ(x,y,z0)dy+∫z0zR(x,y,z)dz+C\displaystyle{ =\int_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz+C }%=∫x0xP(x,y0,z0)dx+∫y0yQ(x,y,z0)dy+∫z0zR(x,y,z)dz+C