说在开头：关于欧式几何

如果要对人类历史上最伟大的数学家做个排名，我想欧几里得大宗师绝对是榜上有名，作为几何学的祖师爷，他的《几何原本》不仅奠定了几何学的基础，也是西方数学和古典哲学的集大成之作。对几何学、数学以及科学的发展，甚至对西方人思维方法都有极大的影响，自成书两千多年以来，一直流传至今，经久不衰，绵延不绝（我有一个伟大的抱负！在那遥远的地方，我已经看见了我们绵延不绝的子孙，在那儿手牵着手，肩并着肩……《暗恋.桃花源》），它是第一本向人们展示了数学推理，归纳演绎的极致著作。

在欧几里得之前，古希腊人就已经已积累了大量几何学知识（其实不同文明，包括中国也有相当多的几何学积累），然而缺乏系统性，大多是一些零碎的知识，对公式和定理没有严格的逻辑论证。所谓的欧氏几何其实也并非是欧大宗师发明的，实际上由他亲自发现的理论并不多：欧几里得大量搜集别人发现的几何学理论，加以理解、融会贯通，然后分门别类地整理，使之明确化、系统化；并孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。直到今天，他所创作的几何原本仍然是世界各国学校里的必修课，我们今天小学、初中、高中几何课本中的大部分内容，都来自这本2300多年前的著作：《几何原本》。Ps：另外一个天才数学家：阿基米德是欧几里得学生卡农的学生。

欧几里得少年时加入“柏拉图学园”学习，通过早期对柏拉图数学思想的研究，察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心要完成这一重任，于是从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及亚历山大城，在这座文化蕴藏丰富的异域城市实现了他的初衷。他一边收集数学专著，向学者请教，一边著书立说，终于在公元前300年定型《几何原本》一书。

《几何原本》著作分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。欧几里得先摆出公理、公设、定义作为已知要素，再由简单到复杂地证明一系列命题，被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人。

“欧式几何”以5条公设开篇，这5条公设非常重要，是欧式几何学大厦的基石：

任意两个点可以通过一条直线连接（直线公理）。
任意线段能无线延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径做一个圆(圆公理)。
所有直角都相等（角公理）。
若两直线都与第三条直线所截，并且同一边的内角之和小于两个直角，则这两直线在这一边必定相交（平行公理）。

第五条公设说的非常复杂，简化的版本是：直线外的一点，只能做一条直线与此线平行。

这五条公设是显而易见、不证自明的，在长期的实践中检验过的，与整个欧几里得几何学与实际生产生活之中的测量结果完全符合。但是大家都对第五条公设有点不爽，因为前面几条都是简单易懂，一句话解决，但是第五条公设描述非常啰嗦，而且欧几里得估计也觉得第五公设似乎有点问题，所以他的前29项命题都没用到第五条公设。大家都在想第五条公设能不能去掉，即从其它四条公设中推理得到这一条呢？因为一个数学体系的公设越少，那么其普适性就越好。所以到了19世纪，众多数学天才跟这条公设不断死磕。最终结果，我们现在也看到了：经过这么多数学家的努力，第五条公设也没能在欧式几何中去掉。

当然数学家们死磕第五条公设也不是没有结果，几何学被分成两大部分：欧氏几何与非欧几何！

一，关于阻抗

上一章好不容易讲完了阻抗虚不虚的事情，我们还要趁热打铁地讲一讲阻抗（对于阻、容、感来说最重要的概念）。阻抗是什么？有人说那就是电阻，而有人说好像指电容和电感。其实，阻抗的概念老早就定义好了，我们所要做的是：回顾一下阻抗到底是指什么，并坚定自己的信念。

阻抗是指在具有电阻、电感和电容的电路里，对电路中电流所起的阻碍作用。关于这个定义，肯定会有同学剑走偏锋：PCB走线/线缆等都有阻抗，而那只是一根走线，并没看到PCB走线上串/并电阻、电感、电容，用万用表量了也是0Ω，为什么说它有阻抗（50Ω/100Ω）呢？的确，这会有点让人难以理解，我们将在下一个《信号完整性基础》专题中深入讲解。

我们根据阻抗本身的定义，进行扩展理解：从上一章，我们知道了电阻器是耗能元件而电容器和电感器是储能元件。所以电阻是真实的消耗电场能量：阻抗的实数部分，而电容和电感是假的电磁能量“消耗”：是阻抗的虚数部分。所以我们将阻抗Z的实部称为：电阻，虚部称为：电抗。电容的对交流电的阻碍作用（电抗）称为：容抗；电感的对交流电的阻碍作用（电抗）称为：感抗。当然，我们可以将电阻、容抗、感抗统统都称为阻抗。感觉说了跟没说一样？那同学们就需要重新再看一遍了。

二，电阻器模型

1，电阻器理想模型

电阻器是电子系统中最常用的元件，对于理想电阻器来说，其频响特性应该是对于所有的频率下的电阻值都不变，而且相角为0°（敲黑板，不要跟我说这么快就忘记相角是啥了哦，忘记的同学翻下上一章的内容），如下图所示。

然而实际电阻器在高频时的阻值必然会偏离其理想阻值，因为真实的电阻器必然不会只有电阻特性本身，而是由电阻、复杂的寄生电容和寄生电感所组成；虽然寄生电容值和寄生电感都非常小，但在高频时具有明显的电感或电容效应（即电感或电容对电阻器的阻抗影响较大）。如下图所示，为电阻器的等效模型：引线电感Llead，指的是由两条引线围成的环路电感（假设是14nH，艾玛，什么是环路电感？后面再说哈，这里就提一下有寄生电感存在。）；分布电容Cpar，指的是引线电容Clead和漏电电容Cleakage的并联组合（Cpar = Clead +Cleakage；假设是1pF）。考虑一个1kΩ的电阻，那么它在159MHz时的Cpar（1pF）阻抗是1KΩ；而且寄生电感和寄生电容在1.3GHz时产生了谐振。

我们可以简单计算该模型等效的电路阻抗：Z(jω) = + = + 。

如下图所示，我们对该电阻电路在直流到无穷大频率时进行分析：

如上图（a），计算直流时的电路性能，即ω= 0时：ZL = 0|f=0，Zc =∞|f=0；

——电感在直流时表现为短路，电容直流时表现为开路，此时表现为理想电阻。

2. 如上图（b），随着频率升高，容抗随之减小并趋向于电路模型的阻抗短路，短路在容抗Zc和电阻R相等时的频率，即转折频率：ω1 = 1/RCpar；此阶段电阻占主导作用，电阻的阻抗取决于电阻阻值；

3. 频率高于转折频率ω1后，电容Cpar占到电阻模型的主导作用，电阻模型的阻抗随着频率的增加而减小：1/jωC；

——如下图所示，我们可以将它看成一个类似低通滤波器，此频点类似于极点，此后阻抗随频率以-20dB/10倍频的速率减小，相角接近-90°（关于传递函数，以后在《开关电源基础》中详细分析）。

4. 如上图（c），随着频率继续增加，直到电感Llead与电容Cpar发生谐振，即ω0= 1/，此时电感的感抗与电容的容抗相互抵消，电阻阻抗最小；

——忽略电阻R的影响，计算L和C的谐振：+ = ，可得谐振频点（零点）：ω = 1/（关于零极点，后续《开关电源基础》中详细分析）。

5. 当频率高于谐振频率时，感抗在模型中起到主导作用，即随着频率的增加，电阻模型的阻抗增加。

——此时感抗幅度以20dB/10倍频的速率增加且相角接近于90°。

6. 如上图（d），计算频率无穷大时的电路性能，即ω =∞时，ZL = ∞|f=∞，Zc = 0|f=∞；此时电阻模型阻抗为无穷大，阻抗角接近90°。

2，举个栗子

不同类型电阻器的模型也不一样，这与电阻器本身的结构相关：电阻器封装（Clead ，Llead）和材料（Cleakage）不同，对导致谐振频率的不同；同时不同电阻值的电阻器受寄生电感和寄生电容的影响也不同。

对于一个1KΩ、1/8w的复合碳纤维电阻器的阻抗值，其引线长度为0.5in（Llead = 14nH），引线间隔为0.25in（Cpar = 1.2pF）；所以可以看到第一个转折频率f1约为120MHz，而电路谐振频率f0约为500MHz。如下图所示。

我们要注意的是：寄生电容和寄生电感与电阻器本身的器件结构、封装、尺寸等都有很大的关系，如果想要尽量减小寄生电容、电感，最好使用小封装、贴片的电阻器。

——选了一个0Ω±50mΩ电阻器，那就跟导线没啥差别么？有些时候真的天差地远~

不过还是要说，各位同学不要过于胆战心惊，电阻器在不同频率的信号中虽然呈现出阻抗的波动性（注：此波动性非薛定谔的波动理论），根据广大群众的长期实践与智慧结晶：实际上在大多数数字电路中，我们可以将金属厚膜贴片电阻器（例如常用的0402封装电阻器）看成一个“理想电阻器”来应用，是没有问题的。

~你的思考（提问），是对我最大的支持~

阻容感基础02：电阻器原理（1）-电阻器模型相关推荐

阻容感基础02：电阻器原理（2）-电阻器参数
说在开头:关于罗氏几何人们一直都相信欧氏几何必定是物理空间的正确理想化,所以从欧大宗师之后的众多数学家就一直尝试用前4个公设和5个公理来证明第五公设,经过了2000多年的前赴后继,各天才数学家们居然 ...
阻容感基础04：电阻器应用
说在开头:关于相对运动牛顿老爷子认为是存在绝对空间和绝对时间的,正如<论语>中的子曾说过:逝者如斯夫,不舍昼夜.时间哪,它就像一条河流,永远均匀且不停歇的流着,不依赖任何外界事物.而&q ...
阻容感基础06：电容器分类（3）-薄膜电容器
说在开头:关于广义相对论爱因斯坦提出狭义相对论后,有很多物理学大牛都支持他,也有强烈的反对声音,但是更多人则默默地吃着瓜,因为当时物理学界没有几个人能看懂狭义相对论这玩意.对于一般的反对和质疑,爱因 ...
阻容感基础03：电阻器分类（2）-膜式电阻器
说在开头:关于19世纪的两朵乌云 19世纪末的物理学家是幸运的,在牛爵爷(经典力学)和麦克斯韦大宗师(电磁学理论)的辛勤努力下,建立起了宏伟的经典物理学大厦.那时的物理学家们认为经典物理学已经完全解决 ...
阻容感基础05：电容器原理（1）-电容器模型
说在开头:关于关于狭义相对论 19世纪末,大多数物理学家都认为宇宙中是有"以太"存在的(当然这个"以太",并非是现在的"以太网"),但是经过 ...
阻容感基础01：从宇宙起源到阻容感（2）
说在开头:关于虚数毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了无理数(举个栗子:同学们可以计算边长为1的等腰直角三角形,那么斜边长是,就是无限不循环小数,后续会具体讲这个"第一次数学危机" ...
阻容感基础10：电感器分类（4）-变压器
说在开头:关于引力波(1) 爱因斯坦在捣鼓相对论的时候,就隐约感觉到有引力波的存在,他认为:在这个宇宙中没有什么信号传播的速度能超越光速,那么引力传播也不可能超越光速,必定需要时间,那么显然就会以波的 ...
阻容感基础11：电感器应用（终结篇）
说在开头:关于引力波(2) 爱因斯坦虽然算出了引力波公式,但这玩意在当时根本没有办法检测,一般天文事件发出的引力波微乎其微,举个栗子:木星(质量是地球的300倍)绕太阳旋转,期间会不断辐射出引力波,其 ...
阻容感基础09：电感器原理（1）-电感器模型
说在开头:关于中子星(1) 有一个年轻的印度学生来到英国求学,这个小伙子叫钱德拉塞卡,那时候印度能上大学的人不多,他考入英国剑桥大学的三一学院读博士.钱德拉塞卡在船上一直思考关于恒星末日的问题:一个年 ...
阻容感基础05：电容器原理（2）-电容器参数
说在开头:关于相对性原理爱因斯坦在1905年发表了划时代意义的6篇论文,但对当时物理学界来说,并没有引起太大的波澜,直到他的论文引起了普朗克的关注.普朗克当时正担任<物理学年签>的主编, ...

阻容感基础02：电阻器原理（1）-电阻器模型