说在开头：关于罗氏几何

人们一直都相信欧氏几何必定是物理空间的正确理想化，所以从欧大宗师之后的众多数学家就一直尝试用前4个公设和5个公理来证明第五公设，经过了2000多年的前赴后继，各天才数学家们居然都没有成功。还有一些数学家尝试用更简单、明畅的语言来叙述这条公设，从而更好地理解并解决它，一直到 18 世纪的普莱菲尔才算总结出一个比较简单的替代性公设，即第五公设简化版本：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。

一般来说这种极端基础的问题，想要直接证明是非常困难的，于是数学家们就想到了反证法：只要能推出反第五条公设的假设与前四条公设矛盾，这不就能说明该假设是错误的吗？也就反正了第五条公设是对的。首先出场的是意大利数学家萨开里，他设想了一个萨开里四边形（如下图所示），一共四个角，两个底角是直角，假设剩下的两个角有三种情况：1，都是直角，就是欧氏几何；2，都是锐角；3，都是钝角。假如锐角成立，那看下有啥奇葩的结论，他一口气推导出三十几个定理，这些定理都非常古怪；萨开里觉得差不多了，这些奇葩的结论肯定不靠谱啊，那么第五公设应该就是没问题的。

接下来出场的匈牙利人（匈牙利出了很多厉害的天才数学家，包括大家所熟知的冯.诺依曼）名叫亚诺什.鲍耶，他也在死磕第五公设。他的老爹是著名数学家法尔科斯. 鲍耶，一看儿子干上这个没前途的活，连哭的心都有了。亚诺什觉得虽然推导出来的结论很古怪，但并非真的有矛盾。那时候有一批数学家在捣鼓这种偏离欧祖师爷的几何学，统称：非欧几何。后来亚诺什的老爹写信给了大数学家高斯寻求帮助，高斯号称数学王子，在各个方面都有涉猎，是哥廷根数学派的开山祖师爷（哥廷根数学派出了非常多的牛人）。高斯自己也有类似的想法，他曾经也跟第五公设死磕过；他在信里回复说：实际上这篇文章的方法和结果，我30年前就搞出来了。

写了半天，主角终于上场了。罗巴切夫斯基出生在俄罗斯的一个数学世家，从小就展现出了极为出众的数学天赋，1811年年仅19岁就拿到了硕士学位，在硕士毕业后就尝试证明第五公设。他设定过已知直线外的一点至少可以作两条以上直线与已知直线平行，从而代替欧氏几何的第五公设。如果这个假定被否定，则就证明了平行公理。然而，他不仅没有能否定这个命题，而且在该前提下推导出了一整套逻辑自洽的几何学。他自己也认为这些理论非常古怪，但是系统内部却没有矛盾。在1826年的学术大会上，罗巴切夫斯基公开发表了自己的研究成果，在他的理论中：这个世界上存在内角和小于180度的三角形。底下一大群数学教授听他讲的云里雾里、脑洞大开，对于他成果的反应自然是一脸懵逼：这啥脑x玩意啊？

罗巴切夫斯基的理论在当时看来简直是惊世骇俗，甚至是歪理邪说，整个学术圈对他发动了声势浩大的攻击，整个俄国甚至欧洲的数学圈都将他视作一个离经叛道的异端。高斯一直关注着非欧几何的发展，在看见罗巴切夫斯基的学术著作翻译后非常高兴，私下里大为称赞罗巴切夫斯基了不起，他在和朋友的信件之中说道：“他是俄国最卓越的数学家之一”，但在公开场合高斯担心会引来舆论的攻击，没敢说一句鼓励话，甚至还将自己的非欧几何研究成果压着没有发表。

罗巴切夫斯基后来担任了喀山大学的校长，虽然一直坚持着非欧几何的相关研究，但是却没有一个学术机构愿意发表他的论文，甚至俄国大学委员会都不愿意让身为喀山大学校长的他去开会。1856年，罗巴切夫斯基去世的时候，喀山大学为他举行了隆重的葬礼，以纪念他为喀山大学做出的贡献，却对他的几何学成就只字不提。

在罗巴切夫斯基去世12年后，1868年意大利数学家贝特拉米发表了一片论文：详细的叙述了非欧几何的体系，证明了非欧几何的存在，这让非欧几何重回人们的视野。其实罗氏几何学是在弯曲的表面上实现的几何学，欧氏几何和罗氏几何并不矛盾，彼此之间是可以相互转化的：如果欧式几何学正确的，那么罗巴切夫斯基的几何学也是正确的。罗巴切夫斯基也被称为数学界的哥白尼，因为他打破了欧几里得几何学的一统天下，扩展了数学界的视野。到了1893年，喀山大学的门口为他树立了一座雕像，纪念他在几何学上的成就。喀山大学还有一座雕像，是一个年轻人背负行囊，风尘仆仆远行的模样。这个年轻人的名字叫：弗拉基米尔.伊里奇.乌里扬诺夫，他不喜欢自己的这个贵族名字，而另外一个名字响彻了整个20世纪，他的笔名是：列宁。

尼尔斯. 玻尔说：一个新理论被人接受，不是因为反对它的人改变了立场，而是因为反对他的人都已经老死了。（参考自:吴京平-柔软的宇宙）

三，电阻器特性及参数

1，电阻率

说到电阻器的电阻，就必须要明确材料 “体阻率” 的概念，所谓体阻率：是材料的固有特性，用来表示材料电阻特性的物理量，反映了材料对电流阻碍作用的属性。用字母ρ表示，单位是：Ω.m；它有两个特性：

1. 与材料尺寸无关。

——它表明的是这种物质本身的导电特性，但这并不是说不会受到环境的影响，例如温度。

2. 材料导电性能越差，其体阻率越高。

那我们如何通过电阻率来计算电阻值呢？对于横截面恒定材料的电阻值，可以用如下公式计算：R = ρ*Len/A；R：电阻值； ρ：体电阻率；Len：材料长度；A：材料横截面积。

对电阻的另一个描述是电导，它描述了导体导电性能的物理量，即对于某一种导体允许电流通过它的容易性的量度。它是电阻的倒数G=1/R，单位是S（西门子）。相应的也就有电导率：用来描述物质中电荷流动难易程度的参数；用字母σ表示，σ=1/ρ，单位是：S/m。

——电阻表现的是材料对电流导通的阻力，而电导表现的是材料对电流的导通容易性；我们平时也会用到电导，举个栗子：电容器、PCB走线与GND层之间等的漏电性能描述。

如上图所示，为20℃温度条件下，各种材料的电阻率；我们看到铜的导电性能足够好，同时延展性和热传导性好，而且价格相对低，所以在器件、连接器、PCB、散热器等设计中成为最佳的导电材料。

好，我们再来重温下电流通过材料时，为什么会有阻力呢？

当材料中的原子周期性势场受到破坏，自由电子的运动才受到阻力，其原因是自由电子在运动过程中受到了各种因素的散射；而自由电子散射的原因是：在一定温度下，材料内部的大量自由电子，即使在没有电场作用也不是静止不动，而是永不停息地作着无规则的、杂乱无章的运动（热运动的速度比我们想象的要快很多，远远大于电场作用下的自由电子定向移动速度），同时晶格上的原子也在不停地围绕格点作热振动。

2，电阻器参数

电阻器的应用相对电容器和电感器来说都简单的多，所需考虑的参数相对较少，主要涉及可靠性（电应力和环境应力）参数，老化、噪声参数等。

1. 电阻温度系数（Temperature Coefficient of Resistance）：表示电阻当温度改变1℃时，电阻值的相对变化，单位为ppm/℃；平均电阻温度系数定义式：TCR(平均)= [(R2-R1)/R1]*[1/(T2-T1)]。

——那么就有一个问题了：为什么温度的变化会导致电阻值的变化呢？这个问题同样也关系到其它元件随温度变化的问题。

1，关于这个问题，我们首先需要探究下“温度”这一物理量是个啥玩意？

从宏观来说：温度是表示物体冷热程度的物理量（七大基本物理量之一）；

从微观来说：温度是表示物体原子/分子热运动的剧烈程度。那什么又是原子/分子热运动呢？举个栗子：一瓶水在高速飞行的飞机上或者放在家里，水分子运动的速度是不一样的（相对于地球），那么高速中的水与静止水的温度会不一样么？这显然不符合常识；所以热运动指的是：原子/分子的无规则运动（布朗运动）。

——巨量原子/分子的无规则运动呈现在宏观上就是温度，那么1个原子/分子的无规则运动能呈现温度么？如果不能，10个，1万个，1亿个呢？界限在哪里？

——太阳系外围有一圈温度高达5万度的“高温火墙”，当我们有一天穿越它的时候是否会被烧毁？据说当旅行者系列探测器穿越时，其吸收的能量甚至连一杯水都烧不开；说到底这跟物质的密度相关，有人能在桑拿房中忍受90℃的空气高温，但泡在90℃的水中呢~

2，对于固体来说原子/分子被固定在晶格（又是晶格，如下图所示：原子在晶体结构中的排列规律。）中，其原子/分子热运动表现为晶格的振动，同时自由电子随着温度的增加而热运动更加剧烈；当外加电场时驱使自由电子产生有序的规则运动：1，自由电子热运动越剧烈，产生的阻力越大；2，晶格振动越剧烈，自由电子被碰撞散热的概率越大（电能转化为热能），产生的阻力越大。

3，在具有严格周期性势场的理想晶体（晶格结构无缺陷的理想晶体）中的自由电子，绝对0度下（热运动停止）的自由电子运动像理想气体分子在真空中的运动一样，不受阻力，迁移率为无限大，这就是理想的超导体。我们希望电阻器电阻值是稳定的（除了一些特殊应用场景，例如：PTC，NTC等），正常情况下我们希望电阻器随温度的变化越小越好；不同类型电阻器的温度稳定性是不一样的，从优到次排序是：金属箔、线绕、金属膜、金属氧化膜、碳膜、有机实芯；其中纯金属材料电阻率的温度系数都非常大，只有几款合金电阻材料的温度系数才比较小。如下图所示为不同金属和合金的导电性及温度系数。

2. 电阻额定功率：该参数体现了电阻器的散热能力，与电阻器的封装、尺寸相关；如下为片状电阻的尺寸及对应封装功耗。

1，稳态功率降额：在相应工作温度下的降额，即器件符合曲线所规定的环境温度下功率的降额，采用P=V²/R公式进行计算；是器件长期稳定的工作条件，如下图所示。

2，瞬态功耗降额：电阻器脉冲功耗和稳态功率的转换曲线不同，需要查询转换曲线，将瞬态功率转换为稳态功率，然后在此基础上降额。

3. 额定电压：电阻器的工作电压一般有两个，需要选择其小值作为电路实际工作电压；

1，由阻值和额定功率换算出的电压。

——该电压由电阻器封装的最大散热功耗（例如：0402封装，1/16w功耗）决定：最大连续工作电压和最大脉冲电压。

2，电阻器的封装耐压。

——该电压由电阻器封装所能承受的最大击穿电压决定。

4. 老化系数：电阻器在额定功率的长期负荷下，阻值相对变化的百分数，表示电阻器寿命长短的参数。

5. 电压系数：在规定的电压范围内，电压每变化1V，电阻器阻值的相对变化量。

6. 噪声：产生于电阻器中的一种不规则的电压起伏，包括热噪声和电流噪声两部分。

1，热噪声：由于导体内部不规则的电子自由运动，使导体任意两点的电压不规则变化，属于电阻器的本征噪声。

2，电流噪声：来源于电阻器内部结构不连续性和非完整性，与电阻器类型有非常大关系。

——电流噪声与电阻材料强相关：如果导电材料晶格结构完整缺陷小（举个栗子：金属的电流噪声必然较小）；另外，同一类型电阻阻值越大说明电子受到散射或阻碍的概率越大，其电流噪声越大。

写在最后

电阻到底是什么？通过本章的学习，我相信同学们会有一个更清晰的认识。

我们看到电阻器随温度、时间、电应力、环境应力的改变而发生变化、甚至失效，所以我们知道在真实世界中没有什么具象事物能够永恒不变，相反所有事物无时不刻在变化、生灭着；所以对于包括电阻器在内的所有器件，不管是被“良好保存”还是在设备中“奋斗”，它有一天终将会失效，而我们能做的是：如何保证器件寿命与设备使用寿命的匹配，这也称之为可靠性设计（后续在《可靠性设计基础》专题中再详细分析）。

但是电阻作为世界基本法则演化的特性是永恒存在的，同时也是无处不在的；下一章分享《电阻器分类》，看看各种不同类型的电阻器有什么不同的特点。

本章部分相关内容和图片参考自：克莱顿.R.保罗-《电磁兼容导论》，《硬件十万个为什么》论坛相关文章。

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