Codeforces Round #772 (Div. 2) D. Infinite Set （动态规划+思维）

题目链接

https://codeforces.com/contest/1635/problem/D

题面

题意

输入一个n表示数组 aaa 的长度，然后输入一个 p，然后输入n个不同的元素，问在 [0,2p][0,2^p][0,2p]范围内有多少数 xxx 满足下列其中至少一种条件，包含满足条件的集合为 SSS ：

1. x=aix=a_ix=ai 在数组中
1. x=2×y+1x=2\times y + 1x=2×y+1 并且 yyy 在 SSS 中
1. x=4×yx=4\times yx=4×y 并且 yyy 在 SSS 中

输出满足条件的个数，并对 109+710^9+7109+7 取模

思路

我们来观察这三种条件：

对于第一种条件，表示我们基础的 SSS 集合
对于第二种条件，我们会发现就是将其二进制下的位数末尾添加了一个 1
对于第三种条件，我们会发现其实就是将其二进制的位数末尾添加了两个 0

我们再对 2p2^p2p 转化为二进制实际上就是一个小于等于 ppp 个2的二进制数，那么我们就可以将问题转化为某个数的二进制长度的方案数，由于我们的两种操作一种是增加一位，另一种是增加两位，那么长度数量的状态转移方程就是 f[i]=f[i−1]+f[i−2]f[i] = f[i-1] + f[i-2]f[i]=f[i−1]+f[i−2] 也就是一个斐波那契数列，那么对于一个数 xxx 其延申长度小于 ppp 位的时候有 ∑i=1p−len(x)f[i]\sum_{i=1}^{p-len(x)}{f[i]}∑i=1p−len(x)f[i] 这么多种，但是如果我们直接对每一个数进行这样计算的话是不行的，因为有重复的情况，所所以我们开一个 mapmapmap ，记录我们是否以及对这个数进行了计算，详情请看代码

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define ll long long #define mod 1000000007const int N = 2e5 + 10;ll a[N],n,p,f[N]={0,1,2};void slove(){cin>>n>>p;for(int i = 1;i <= n; ++i) cin>>a[i];sort(a+1,a+1+n);map<ll,bool> vis;ll ans = 0;for(int i = 1;i <= n; ++i) {ll k = a[i];bool fg = true;while(k){if(vis[k]) fg = false;if(k & 1) k >>= 1;//如果是奇数，那么说明是2y+1else if(k % 4 == 0) k >>= 2;//如果是4的倍数，那么说明是4yelse break;//如果上述两种情况都不算，那么说明此时不能延申}if(!fg) continue;ll len = (ll)log2(a[i]) + 1LL;if(p >= len)ans = (ans + f[max(0LL,p-len)] + 1) % mod;vis[a[i]] = true;}cout<<ans<<endl;
}int main()
{int t;t = 1;for(int i = 3;i < N; ++i) f[i] = (f[i-1] + f[i-2]) % mod;for(int i = 1;i < N; ++i) f[i] = (f[i-1] + f[i]) % mod;while(t--) slove();return 0;
}

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