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线性规划(1)

极方向

ddd是集合SSS的方向，A(x+λd)=b,x+λd≥0,∀λ≥0A(x+\lambda d)=b, x+\lambda d\geq 0, \forall \lambda\geq 0A(x+λd)=b,x+λd≥0,∀λ≥0.
定理(极方向)：
d∈Rnd\in\mathbb{R}^nd∈Rn是SSS的极方向当且仅当存在矩阵AAA的分解A=(B,N)A=(B, N)A=(B,N)使得
d=t(−B−1ajej)d=t\left( \begin{matrix} -B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right) d=t(−B−1ajej)
其中t>0,B−1aj≤0t>0, B^{-1}a_j\leq 0t>0,B−1aj≤0，其中aja_jaj为矩阵NNN的第jjj列，ej∈Rn−me_j\in\mathbb{R}^{n-m}ej∈Rn−m的第jjj个分量为1，其余分量为0.
极方向个数为有限个.
证明：
⇐\Leftarrow⇐
取
d=t(−B−1ajej)≥0,A=(B,N)d=t\left( \begin{matrix} -B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right)\geq 0, A=(B, N) d=t(−B−1ajej)≥0,A=(B,N)
可以得到
Ad=(B,N)(−B−1ajej)=−aj+Nej=0Ad=(B, N) \left( \begin{matrix} -B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right)=-a_j+Ne_j=0 Ad=(B,N)(−B−1ajej)=−aj+Nej=0
不妨设d=λ1dˉ+λ2d~d=\lambda_1\bar{d}+\lambda_2\tilde{d}d=λ1dˉ+λ2d~，其中λ1>0,λ2>0\lambda_1>0, \lambda_2>0λ1>0,λ2>0，dˉ\bar{d}dˉ和d~\tilde{d}d~是方向.
可知Adˉ=0,dˉ≥0,Ad~=0,d~≥0A\bar{d}=0, \bar{d}\geq 0, A\tilde{d}=0, \tilde{d}\geq 0Adˉ=0,dˉ≥0,Ad~=0,d~≥0.
记
dˉ=(dˉBdˉN)，d~=(dˉBd~N)\bar{d}=\left( \begin{matrix} \bar{d}_B\\ \bar{d}_N \end{matrix} \right)， \tilde{d}=\left( \begin{matrix} \bar{d}_B\\ \tilde{d}_N \end{matrix} \right) dˉ=(dˉBdˉN)，d~=(dˉBd~N)
得到
(−B−1ajej)=λ1(dˉBdˉN)+λ2(d~Bd~N)\left( \begin{matrix} -B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right)= \lambda_1 \left( \begin{matrix} \bar{d}_B\\ \bar{d}_N \end{matrix} \right)+ \lambda_2 \left( \begin{matrix} \tilde{d}_B\\ \tilde{d}_N \end{matrix} \right) (−B−1ajej)=λ1(dˉBdˉN)+λ2(d~Bd~N)
根据匹配关系
dˉN=t1ej,d~N=t2ej，t1,t2≥0\bar{d}_N=t_1e_j, \tilde{d}_N=t_2e_j， t_1, t_2\geq 0 dˉN=t1ej,d~N=t2ej，t1,t2≥0
不妨设t1=0,dˉN=0,dˉ=(dˉB0)t_1=0, \bar{d}_N=0, \bar{d}=\left(\begin{matrix}\bar{d}_B\\0\end{matrix}\right)t1=0,dˉN=0,dˉ=(dˉB0)
由Adˉ=(B,N)(dˉB0)=BdˉB=0→dˉB=0A\bar{d}=(B, N)\left(\begin{matrix}\bar{d}_B\\0\end{matrix}\right)=B\bar{d}_B=0\to \bar{d}_B=0Adˉ=(B,N)(dˉB0)=BdˉB=0→dˉB=0，因此t1>0,t2>0t_1>0, t_2>0t1>0,t2>0.
考虑dˉ\bar{d}dˉ，由于Adˉ=0A\bar{d}=0Adˉ=0，展开得到
Adˉ=(B,N)(dˉBt1ej)=BdˉB+t1Nej⏟aj=0A\bar{d}=(B, N)\left( \begin{matrix} \bar{d}_B\\ t_1e_j \end{matrix} \right)=B\bar{d}_B+t_1\underbrace{Ne_j}_{a_j}=0 Adˉ=(B,N)(dˉBt1ej)=BdˉB+t1ajNej=0
即BdˉB+t1aj=0→dˉB=−t1B−1ajB\bar{d}_B+t_1a_j=0\to \bar{d}_B=-t_1B^{-1}a_jBdˉB+t1aj=0→dˉB=−t1B−1aj
dˉ=(dˉBdˉN)=(−t1B−1ajt1ej)=t1(B−1ajej)=t1d\bar{d}=\left( \begin{matrix} \bar{d}_B\\ \bar{d}_N \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -t_1B^{-1}a_j\\ t_1e_j \end{matrix} \right)=t_1 \left( \begin{matrix} B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right)=t_1d dˉ=(dˉBdˉN)=(−t1B−1ajt1ej)=t1(B−1ajej)=t1d
同理可知，d~=t2d\tilde{d}=t_2dd~=t2d.即dˉ,d~,d\bar{d}, \tilde{d}, ddˉ,d~,d是同一个方向，所以ddd是极方向.
⇒\Rightarrow⇒
已知ddd是SSS的极方向，Ad=0,d≥0Ad=0, d\geq 0Ad=0,d≥0.
不妨设ddd的分量中有k+1k+1k+1个正分量，其余为0.
记d=(d1,d2,…,dk,…,t)T∈Rn,d1,d2,…,dk,t>0d=(d_1, d_2, \dots, d_k, \dots, t)^T\in \mathbb{R}^n, d_1, d_2, \dots, d_k, t>0d=(d1,d2,…,dk,…,t)T∈Rn,d1,d2,…,dk,t>0.
取对应的AAA的列a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_ka1,a2,…,ak.
如果a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_ka1,a2,…,ak线性相关，则存在不全为0的θ1,θ2,…,θk\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_kθ1,θ2,…,θk使得
θ1a1+θ2a2+⋯+θkak=0\theta_1a_1+\theta_2a_2+\dots+\theta_ka_k=0 θ1a1+θ2a2+⋯+θkak=0
构造θ=(θ1,θ2,…,θk,0,…,0)T∈Rn\theta=(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_k, 0, \dots, 0)^T\in\mathbb{R}^nθ=(θ1,θ2,…,θk,0,…,0)T∈Rn.
取一个充分小的整数ε>0\varepsilon>0ε>0，可知d+εθ≥0,d−εθ≥0d+\varepsilon\theta\geq 0, d-\varepsilon\theta\geq 0d+εθ≥0,d−εθ≥0.
可知Adˉ=Ad~=0A\bar{d}=A\tilde{d}=0Adˉ=Ad~=0，可知dˉ,d~\bar{d}, \tilde{d}dˉ,d~是SSS的方向.
∵d=12dˉ+12d~\because d=\frac{1}{2}\bar{d}+\frac{1}{2}\tilde{d}∵d=21dˉ+21d~，∴d\therefore d∴d表示为另外两个方向的正组合→d\to d→d不是极方向.
则a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_ka1,a2,…,ak是线性无关的.
可知k≤mk\leq mk≤m.
(1).k=mk=mk=m时，令dB=(d1,…,dm)T,dN=tejd_B=(d_1, \dots, d_m)^T, d_N=te_jdB=(d1,…,dm)T,dN=tej.
记B=(a1,…,am)B=(a_1, \dots, a_m)B=(a1,…,am).
可以求出dB=−tB−1ajd_B=-tB^{-1}a_jdB=−tB−1aj，且dN=tejd_N=te_jdN=tej
d=(−tB−1aj−tej)=t(−B−1ajej)d=\left( \begin{matrix} -tB^{-1}a_j\\ -te_j \end{matrix} \right)=t \left( \begin{matrix} -B^{-1}a_j\\ e_j \end{matrix} \right) d=(−tB−1aj−tej)=t(−B−1ajej)
(2)k<mk<mk<m时
已知a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_ka1,a2,…,ak无关，则必然可以从剩余列中(除了a1,…,ak,ta_1, \dots, a_k, ta1,…,ak,t)，选取ak+1,…,ama_{k+1},\dots,a_mak+1,…,am，使得a1,…,ak+1,…,ama_1, \dots, a_{k+1}, \dots, a_ma1,…,ak+1,…,am无关，划分向量得到
B=(a1,a2,…,am)dB=(d1,…,dm)dN=(0,t,0,…,0)=tej\begin{aligned} &B=(a_1, a_2, \dots, a_m)\\ &d_B=(d_1, \dots, d_m)\\ &d_N=(0, t, 0, \dots, 0)=te_j \end{aligned} B=(a1,a2,…,am)dB=(d1,…,dm)dN=(0,t,0,…,0)=tej

多面体分解定理

假设SSS的极点为x1,x2,…,xkx_1, x_2, \dots, x_kx1,x2,…,xk的极方向为d1,d2,…,dld_1, d_2, \dots, d_ld1,d2,…,dl, 则x∈Sx\in Sx∈S当且仅当xxx具有如下形式
x=∑i=1kλixi+∑j=1lμjdjx=\sum_{i=1}^k\lambda_ix_i+\sum_{j=1}^l\mu_jd_j x=i=1∑kλixi+j=1∑lμjdj
其中∑i=1kλi=1,λi≥0,i=1,2,…,k,μj≥0\sum_{i=1}^k \lambda_i=1, \lambda_i\geq 0, i=1, 2, \dots, k, \mu_j\geq 0∑i=1kλi=1,λi≥0,i=1,2,…,k,μj≥0.
将问题
min⁡cTxs.t.x∈S\begin{aligned} &\min c^Tx\\ &s.t.\quad x\in S \end{aligned} mincTxs.t.x∈S
转化为
min⁡cT(∑iλixi+∑iμidi)s.t.{λi≥0,∑iλi=1μj≥0\begin{aligned} &\min c^T(\sum_i\lambda_ix_i+\sum_i\mu_id_i)\\ &s.t. \begin{cases} \lambda_i\geq 0, \sum\limits_i\lambda_i=1\\ \mu_j\geq 0 \end{cases} \end{aligned} mincT(i∑λixi+i∑μidi)s.t.⎩⎨⎧λi≥0,i∑λi=1μj≥0
关于λi,μi\lambda_i, \mu_iλi,μi的线性问题
可以知道
(1).对于某个j,cTdj<0j, c^Td_j<0j,cTdj<0，则v(LP)=−∞-\infty−∞
(2).如果cTdj≥0,∀j=1,…,lc^Td_j\geq 0, \forall j=1, \dots, lcTdj≥0,∀j=1,…,l，则μi=0\mu_i=0μi=0，问题转化为
min⁡∑λicTxis.t.{∑λi=1λi=0\min \sum\lambda_ic^Tx_i\\ s.t. \begin{cases} \sum\lambda_i=1\\ \lambda_i=0 \end{cases} min∑λicTxis.t.{∑λi=1λi=0
问题为有界并且存在最优解.

朴素算法

1.列举所有极点x1,x2,…,xkx_1, x_2, \dots, x_kx1,x2,…,xk和极方向d1,d2,…,dld_1, d_2, \dots, d_ld1,d2,…,dl.
2.判断cTdj≥0,j=1,…,lc^Td_j\geq 0, j=1,\dots, lcTdj≥0,j=1,…,l是否成立
3.寻找xrx_rxr使得cTxr=min⁡{cTx1,…,cTxk}c^Tx_r=\min\{c^Tx_1, \dots, c^Tx_k\}cTxr=min{cTx1,…,cTxk}

参考资料

线性规划上海财经大学崔雪婷

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