UA SIE545 优化理论基础1 凸分析8 极点与极方向

这一讲我们讨论一种特殊的凸集，多面体集合(polyhedral set)，定义
S={x∈Rn:Ax=b,x≥0}S = \{x \in \mathbb{R}^n:Ax = b,x \ge 0\}S={x∈Rn:Ax=b,x≥0}

称SSS为多面体集合的标准形式。如果AAA是n×nn\times nn×n的矩阵，并且rank(A)=nrank(A)=nrank(A)=n，则SSS是nnn个nnn维超平面的交；如果AAA是n×nn \times nn×n的矩阵但rank(A)<nrank(A)<nrank(A)<n，则可以用一个m×nm \times nm×n的矩阵代替AAA（我们记这个用来替代的矩阵为AAA）满足rank(A)=mrank(A)=mrank(A)=m，存在满秩的m×mm \times mm×m的矩阵BBB与m×(n−m)m \times (n-m)m×(n−m)的矩阵NNN，使得
Ax=b⇔BxB+NxN=b,xB≥0,xN≥0Ax = b \Leftrightarrow Bx_B + N x_N = b,x_B\ge 0,x_N \ge 0Ax=b⇔BxB+NxN=b,xB≥0,xN≥0

例1 考虑S={(x1,x2,x3):x1+x2+x3≤1,x1,x2,x3≥0}S=\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2 +x_3 \le 1,x_1,x_2,x_3 \ge 0\}S={(x1,x2,x3):x1+x2+x3≤1,x1,x2,x3≥0}，在三维空间中，SSS就是一个以(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)为顶点的四面体，现在引入x4≥0x_4 \ge 0x4≥0使得x1+x2+x3+x4=1x_1+x_2+x_3+x_4=1x1+x2+x3+x4=1，显然
S={(x1,x2,x3):x1+x2+x3+x4=1,x1,x2,x3,x4≥0}S=\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2 +x_3+x_4 = 1,x_1,x_2,x_3,x_4 \ge 0\}S={(x1,x2,x3):x1+x2+x3+x4=1,x1,x2,x3,x4≥0}

这就把多面体集合写成了标准形式。一个非常有趣的现象是，如果记S1={(x1,x2,x3,x4):x1+x2+x3+x4=1,x1,x2,x3,x4≥0}S_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_2 +x_3+x_4 = 1,x_1,x_2,x_3,x_4 \ge 0\}S1={(x1,x2,x3,x4):x1+x2+x3+x4=1,x1,x2,x3,x4≥0}

则S1S_1S1是一个四维空间中的超平面，SSS是它试图进入到三维空间而被挤压后的形状，也就是第四个坐标x4x_4x4被挤掉了。

在这个问题中
A=[1111],B=[1],N=[111]A = [1 \ 1 \ 1 \ 1],\ B = [1],\ N = [1\ 1 \ 1]A=[1 1 1 1], B=[1], N=[1 1 1]

对于一个多面体而言，在三维空间中的实践告诉我们，只要我们确定了多面体的顶点和边，就能够确定一个多面体的形状进而确定它的性质，接下来我们就试图把顶点和边的概念推广到多面体集合。

称一个点为多面体集合的极点(extreme point)或者顶点如果它不能表示成多面体集合中任意两个点的（不含这两个点的）凸组合；称一个可以任意长的向量为多面体集合的极方向(extreme direction)，如果它不能表示成多面体集合中任意两个向量的（不含这两个向量的）凸组合。

基于这个理解，我们可以给出一般的多面体集合的顶点与边。考虑
S={x∈Rn:Ax=BxB+NxN=b,x≥0}S = \{x \in \mathbb{R}^n:Ax = Bx_B+Nx_N = b,x \ge 0\}S={x∈Rn:Ax=BxB+NxN=b,x≥0}

如果BBB是可逆矩阵，则extreme point可以表示为
x=[xBxN]=[B−1b0]x = \left[ \begin{matrix} x_B \\ x_N \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} B^{-1}b \\ 0 \end{matrix} \right]x=[xBxN]=[B−1b0]

因为BBB事实上是AAA的列向量的极大线性无关组，因此一共可能有CnmC_n^mCnm种选择，这意味着顶点最多可能有CnmC_n^mCnm个。并且非空的多面体集合至少有一个顶点。

考虑极方向ddd，SSS中任何一个点可以表示成y=x+λdy=x+\lambda dy=x+λd，其中xxx表示一个极点，因此
Ay=Ax+λAd=b⇒Ad=0Ay = Ax + \lambda Ad = b \Rightarrow Ad = 0Ay=Ax+λAd=b⇒Ad=0

也就是说极方向属于AAA的核空间。如果N=[a1,a2,⋯,an−m]N=[a_1,a_2,\cdots,a_{n-m}]N=[a1,a2,⋯,an−m]，并且存在aja_jaj使得B−1aj≤0B^{-1}a_j \le 0B−1aj≤0，则
d=[−B−1ajej]d = \left[ \begin{matrix} -B^{-1}a_j \\ e_j \end{matrix} \right]d=[−B−1ajej]

其中eje_jej是n−mn-mn−m维了除了第jjj个元素为1其他元素均为0的向量。简单分析如下
BdB+NdN=0Bd_B +Nd_N = 0BdB+NdN=0

因为rank(A)=mrank(A)=mrank(A)=m，所以核空间的维数为n−mn-mn−m，为了简单起见，可以取dN=ejd_N=e_jdN=ej，则
BdN=−Nej=−aj⇒dB=−B−1ajBd_N = -Ne_j = -a_j \Rightarrow d_B = -B^{-1}a_jBdN=−Nej=−aj⇒dB=−B−1aj

之所以要限制B−1aj≤0B^{-1}a_j \le 0B−1aj≤0是因为SSS永远在空间的第一象限，为了保证可以无限延伸的向量ddd仍然在SSS中，必须要−B−1aj≥0-B^{-1}a_j \ge 0−B−1aj≥0。注意到给定一个极点，极方向最多有n−mn-mn−m个，因此SSS的极方向最多有(n−m)Cnm(n-m)C_n^m(n−m)Cnm

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