CF1312E Array Shrinking（区间dp模板）

题目链接(洛谷)
CodeForces

这是一道区间dp的板题

题意

给定一个数组，每一次对于两个相邻的数，如果他们相等，则可以将它们合并为一个数，其值为原数+1+1+1，求原数组合并完后的最小长度。

思路

首先看到这种描述，我们就可以想到区间dp
区间dp的模板：dp[i][j]=min⁡(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i])（w[i]随题目改变）区间dp的模板：dp[i][j] = \min(dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i])（w[i]随题目改变）区间dp的模板：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i])（w[i]随题目改变）
考虑令dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]为区间[i,j][i, j][i,j]所能合并的最小长度，w[i][j]w[i][j]w[i][j]为区间[i,j][i,j][i,j]所能合并出来的和
那么可以很简单的得出这样一个式子
dp[i][j]=min⁡(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j])dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])
然后如何可以保证这个题目上的合并呢
我们可以考虑在每次枚举i,j,ki,j,ki,j,k时像这样更新

if (dp[i][k] == 1 && dp[k + 1][j] == 1 && w[i][k] == w[k + 1][j])dp[i][j] = 1, w[i][j] = w[i][k] + 1;

最后直接输出dp[1][n]dp[1][n]dp[1][n]即可

代码

具体实现见代码：

const int N = 505, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, dp[N][N], w[N][N];
// dp[i][j]:[i, j]区间合并的长度
// w[i][j]:[i, j]区间合并的和
int main()
{memset(dp, 0x3f, sizeof dp);rd(n);for (int i = 1; i <= n; i++)rd(w[i][i]), dp[i][i] = 1;for (int len = 2; len <= n; len++)for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++){int j = len + i - 1;for (int k = i ; k < j; k++){dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);if (dp[k + 1][j] == 1 && dp[i][k] == 1 && w[i][k] == w[k + 1][j]) //相邻两段长度相同都为1，且值也相同，即可更新dp[i][j] = 1, w[i][j] = w[i][k] + 1;}}pt(dp[1][n]);return 0;
}

谢谢

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