Dijkstra算法（朴素，堆优化）+例题

2024-06-14 02:45:47

Dijkstra算法基于贪心，分为朴素版和堆优化版，稠密图用朴素版，稀疏图用堆优化版。

算法思想

首先给定起始点和终点，求起始点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的做法是：

在所有顶点里找到距离起点最近的点，将它放入集合S。
用这个顶点来更新其它顶点到起点的距离。
重复1,2步，直到所有顶点都在集合S里，此时，终点存的距离就是终点到起点的最短距离。

朴素版Dijkstra例题

ACWING849. Dijkstra求最短路 I
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：

输出样例：

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=520;
int st[N],g[N][N],dist[N];
int n,m;
int Dijkstra()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;for(int i=0;i<n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!st[j]&&(dist[t]>dist[j]||t==-1))t=j;}st[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++){dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}}if(dist[n]==0x3f3f3f3f)return -1;return dist[n];
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int x,y,z;memset(g,0x3f,sizeof g);cin>>n>>m;while(m--){cin>>x>>y>>z;g[x][y]=min(g[x][y],z);}cout<<Dijkstra()<<'\n';return 0;
}

核心思想和注意点：

朴素版Dijkstra算法用邻接矩阵来存储图
起点到起点的距离初始化为0，其余顶点到起点的距离初始化为无穷大
因为有重边，所以在输入图时要多加一步判断，保证选重边里权重最小的：
g[x][y]=min(g[x][y],z);

ACWING850. Dijkstra求最短路 II
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围
1≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。

输入样例：

输出样例：

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 150010;
int st[N], h[N], e[N], ne[N], dist[N], w[N], idx;
int n, m;
void add(int x, int y, int z)
{e[idx] = y;ne[idx] = h[x];w[idx] = z;h[x] = idx++;
}
int Dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});while(!heap.empty()){PII t = heap.top();heap.pop();int distance = t.first, ver = t.second;if(st[ver])continue;st[ver] = 1;for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if(dist[n] == 0x3f3f3f3f)return -1;return dist[n];
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int x, y, z;memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;while(m--){cin >> x >> y >> z;add(x, y, z);}cout << Dijkstra() << '\n';return 0;
}

核心思想和算法：

用小根堆来实现算法，比起朴素版，寻找距离最短的结点的效率快了
要用pair来存储图的结点，pair记载了两个信息，距离和顶点编号。距离用来堆排序，顶点编号用来取结点时识别结点。
pair的first一定是距离，因为堆排序是按距离排的。
if(st[ver]) continue;这段代码的含义是，可能会有两个结点a和b同时指向c，那么在对a和b进行更新时，就会把c二次入堆，可我们只需要对c更新一次就够了，所以在第二次见到c时就无须进行for循环了，直接在算法中段停止即可。
由于邻接表和堆的特点，在输入图时无需考虑重边问题，算法中会自动选择距离小的边放入堆中

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